Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Коммуникации и связь->Реферат
Автоматизация уже давно стала для нас привычной. Сейчас трудно представить производственное или бытовое оборудование без автоматического управления. С...полностью>>
Коммуникации и связь->Курсовая работа
Электронным генератором сигналов называют устройство, посредством которого энергия сторонних источников питания преобразуется в электрические колебани...полностью>>
Коммуникации и связь->Курсовая работа
В рамках текущего проекта, фактически, требовалось разработать сеть кампуса, которая, однако, имеет выход во внешнюю среду. Сети кампуса объединяют мн...полностью>>
Коммуникации и связь->Курсовая работа
В данной схеме узел «1» - входной (в данной схеме имеется 2 входа) , узлы «1», «2», «3» - выходные, причем Uвых1, Uвых2 - инвертирующий и неинвертирую...полностью>>

Главная > Лекция >Коммуникации и связь

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Методы анализа непрерывных линейных систем

В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи – анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик. Применительно к теории управления в задаче анализа необходимо найти реакцию системы на входной сигнал или найти показатели качества, в косвенной форме характеризующие характер реакции системы на входные сигналы. Задача синтеза заключается в построении системы, удовлетворяющей заданным показателям качества (например, по быстродействию, динамическим свойствам). Задачу синтеза можно формулировать и решать, если хорошо отработаны методы анализа.

При анализе используются уравнения и характеристики, позволяющие судить о процессах в системе. Различают статические и динамические характеристики.

Первые характеризуют соотношение между выходом и входом в установившемся режиме.

Вторые, динамические характеристики определяют динамические свойства звена или системы, т.е. поведение в переходных режи­мах. Динамические свойства определяются дифференциальным урав­нением или передаточной функцией (по Лапласу или частотной, т.е. по Фурье), а также временными характеристиками. О них речь пойдет в следующем разделе.

Статическая характеристика - это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. после окончания переходно­го процесса, или, другими словами, по истечении достаточно большого времени ().

Отсюда усматривается способ экспериментального определения статической характеристики. Подадим на вход сигнал x(t) = const и пос­ле окончания переходного процесса измерим значение сигнала на выходе у(t) = const. В результате получим одну точку на статической характеристике (рис.2.1.1.). Повторим опыт для ряда точек х . Совокупность то­чек (х,у) образует экспериментально снятую статическую характеристику. Может оказаться, например, что при х(t) = const вы­ходная величина изменяется по линейному закону у(t) = at, где a = dy/dt = const. В этом случае под статической харак­теристикой понимают зависимость а(х) в установившемся режиме.

Различают коэффици­енты усиления по постоянному и по переменному сигналу (рис.2.1.1)

По виду статической характеристики различает три типа зве­ньев: статического (позиционного), интегрирующего и дифференци­рующего. Они показаны на рис.2.1.2 для линейных звеньев.

В зависимости от выбранной входной или выходной величины звено может быть того или иного типа. Например, напряжение на выходе тахогенератора пропорционально скорости вращения n его вала (звено позиционного типа).


Если за вход­ную величину принять угол поворота , то напряжение следует признать пропорциональным величине d/dt (звено дифференциру­ющего типа). У двигателя скорость вращения вала n пропорциональна напряжению питания (звено позиционного ти­па). Если за выходную величину принять угол поворота вала , то двигатель должен быть отнесен к звеньям интегрирующего типа.

Динамическая характеристика непрерывной линейной системы с постоянными параметрами.

Непрерывные линейные системы описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида

, (2.2.1)

где x(t) - входная величина (сигнал); y(t) - выходная вели­чина (реакция, или отклик системы).

Как видно из (2.2.1), дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает выходную величину (или ошибку) и ее производные с входной величиной и ее производными (в частном случае только со входной переменной).

Если обозначить оператор дифференцирования буквой р:

(2.2.2)

то уравнение (2.2.1) можно записать в символической форме

(anpn +…+ a0)y(t) = (bmpm +…+ b0)x(t), (2.2.3)

или A(p)y(t) = В(p)x(t), (2.2.4)

где А(p) = anpn +…+ a0 ; B(p) = bmpm +…+ b0 .

Следует иметь в виду, что в левой части уравнения принято записывать слагаемые, соответствующие выходной величине (зависимой переменной), а в правой – входной (независимой переменной). На структурной схеме звено или систему изображают прямоугольником с сигналом (стрелкой в звено слева) на входе и сигналом (стрелкой из звена справа) на выходе. В сложной системе или, например, в случае обратной связи передача сигнала может быть показана в противоположном направлении (справа налево). Но в любом случае есть вход и выход и в дифференциальном уравнении слева все относится к входу, а справа – к выходу. Следует также иметь ввиду, что оператор дифференцирования р применяется к функциям x(t), y(t) и поэтому полиномы (операторы) В(р) и А(р) должны предшествовать этим функциям. Хотя формально в (2.2.3) и (2.2.4) имеются произведения функций (величин) на операторы, а сомножители можно менять местами. Но в данном случае это не произведения, а условная запись применения операторов к функциям (величинам) и менять местами недопустимо. Это будет грубейшей ошибкой.

Система находится в свободном состоянии, если входной сигнал равен нулю. Соответственно движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, т.е. уравнением с нулевой правой частью: А(р) y(t) = 0. (2.2.5)

Известно, что решение дифференциального уравнения (2.2.4) можно представить в виде суммы общего и частного, т.е.

y(t) = yобщ(t)+yчас(t) = + , (2.2.6)

где yобщ(t) является решением однородного дифференциального уравнения (2.2.5) и поэтому характеризует собственное движение системы, находящейся в свободном состоянии. Поэтому в литературе по теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Второе слагаемое в (2.2.6) характеризует движение под действием вынуждающей силы – внешнего воздействия. Поэтому в теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Найдем общее решение, т.е. решение однородного дифференциального уравнения (2.2.5), полагая, что его можно представить в виде

yобщ(t) = еpt, (2.2.7)

где р = а +jb есть пока неизвестное в общем случае комплекс­ное число ( - мнимая единица).

Подставляя (2.2.7) и производные … в уравнение (2.2.5) и сокращая на 0, получим тождество

А(р) = an pn+…+a0 = 0, (2.2.8)

которое характеризует общее решение и потому называется характеристическим уравнением (с переменной р = а + jb – комплексным в общем случае числом).

Заметим, что в математической литературе, как правило, переменную характеристического уравнения обозначают буквой , а в теории управления той же буквой , что и оператор дифференцирования, не давая при этом никаких пояснений. Поэтому надо самостоятельно ориентироваться по обстановке какой смысл имеет переменная в конкретном случае, как говорят, по контексту.

Обратим также внимание на то, что запись А(р) = anpn +…+ a0 означает характеристический полином. Здесь нет уравнения (тождества, когда левая часть равна правой). В записи характеристического полинома знак равенства является оператором присваивания. Выражению anpn +…+ a0 присвоено имя А(р). Кроме того, в теории управления принято вместо А(р) характерис-тическому полиному присваивать имя D(p), т.е. А(р) = D(p).

Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение n-й сте­пени, которое на основании основной теоремы алгебры имеет n корней p1,…., pn.. Корни в общем случае являются комплексными. Так как коэффици­енты уравнения действительные, а не комплексные числа, то комплексные корни могут быть только комплексно-сопряженными. То есть каждому корню вида рi = аi +jbi соответствует сопряженный корень (с противоположной по знаку мнимой частью) вида рi+1 = аi - jbi.

По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

D(p) = anpn +…+ a0 = an(p - p1)(p - pn). (2.2.9)

Два комплексно-сопряженных множителя дают трехчлен с действительными коэффициентами [р - (аi+ jbi)][р - (аi - jbi)] = [(p аi) - jbi][(p аi) + jbi] = = ( p аi)2 + bi2, или p 2- 2 аi р + (аi2 + bi)2. Действительный корень дает двучлен (р аi). Следовательно, в случае действительных и комплексно-сопряженных корней произведение двучленов и трехчленов дает многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда, обратно, следует наличие комплексно-сопряженных корней в случае характеристического полинома с действительными коэффициентами.

Так как характеристическое уравнение имеет n корней, то и сумма решений вида (2.2.7) с разными рi будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению, т.е. быть его решением. Поэтому окончательно общее решение следует представить в виде суммы ли­нейно-независимых решений

, (2.2.10)

где Сi – произвольные постоянные, зависящие от начальных ус­ловий.


Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Методы анализа эмпирических данных (4)

    Реферат >> Политология
    ... а используются для поддержания непрерывности технологического процесса); • ... подготовку производства и систему подготовки продукции на ... методы: линейного программирования, динамического программирования, математическая теория игр, матричные методы анализа ...
  2. Теория сигналов и систем. Конспект лекций и практических занятий

    Конспект >> Коммуникации и связь
    ... комплексных. При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений ... сигналов – ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из ... условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией FS(f) непрерывного сигнала s(t) в ...
  3. Расчет систем управления при случайных воздействиях

    Конспект >> Коммуникации и связь
    ... Пугачевым и на линейные системы с переменными параметрами. Развитию статистических методов анализа и синтеза систем автоматического управления ... – размер лужи непрерывное дискретное Количество звонков через АТС непрерывное непрерывное Высота полёта самолёта ...
  4. Статистические методы анализа качества

    Учебное пособие >> Экономика
    ... 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ 4.1 ... собой стабильную систему случайных факторов ... случае а) действительно имеет место линейная корреляция; в случае b) ... -95 Статистические методы. Непрерывный приемочный контроль ...
  5. Методы измерения материалов и процессов

    Конспект >> Промышленность, производство
    ... распределяются по линейному закону и ... метод термического анализа и метод термогравиметрии. 1) Термический метод анализа ... (с непрерывными волокнами, с короткими волокнами). двумерноармированные (непрерывные нити ... локальных регенерационных систем, в которых ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0010061264038086