Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопред...полностью>>
Математика->Реферат
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "...полностью>>
Математика->Задача
Современное общество отчасти можно рассматривать как систему сетей, предназначенных для транспортирования, передачи и распределения электроэнергии, то...полностью>>
Математика->Реферат
Высокие темпы информатизации различных видов деятельности в настоящее время привели к тому, что появилась возможность компьютерного моделирования и пр...полностью>>

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

1.6 Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей – вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей (т. е. между частями из таких наборов можно установить взаимнооднозначное соответствие, при котором соответственные части равны), то эти фигуры называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики – они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: любые два равновеликих многоугольников равносоставлены. В 1832 г. Её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Гервин. Ключ к доказательству – перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 1.40: разрезав «низкий» прямоугольник на два треугольника и пятиугольник, сдвинув треугольники вдоль наклонной линии разреза, мы получаем другой, «высокий» прямоугольник.

Рис. 1.40

Этим способом данный прямоугольник не трудно превратить почти в любой другой равновеликий ему – надо только, чтобы новый прямоугольник был «выше» исходного, но не более, чем вдвое. Если же отношение высот прямоугольников больше двух (рис. 1.41, а), «низкий» можно «сделать повыше» с помощью простого преобразования (рис. 1.41, б), применённого нужное число раз.

а) б)

Рис. 1.41

Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: разрежем его на треугольники, каждый треугольник превратим в прямоугольник (рис. 1.42), приведём полученные прямоугольники к некоторой постоянной высоте h и состыкуем вертикальными сторонами.

Рис. 1.42

Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой.

1.7 Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 1. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся, как произведения сторон, заключающих эти углы.

Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и (рис. 1.43) углы А и равны.

Рис. 1.43

Проведя высоты и , будем иметь:

.

Треугольники и подобны ( А = А1 и  D = D1 = =900), поэтому ; заменив первое отношение вторым, получим:

.

Теорема 2. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство. 1) Если и - два подобных треугольника, то углы одного равны соответственно углам другого; пусть

А = А1,  В= = В1,  С = С1.

Применим к ним предыдущую теорему:

. (1.14)

Но из подобия треугольников следует:

(1.15)

Поэтому в равенстве (1.14) мы можем каждое из отношений и заменить любым отношением ряда (1.15), следовательно,

.

2) Если и (рис. 1.44) – два подобных многоугольника, то их можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.

Рис. 1.44

Пусть эти треугольники будут:

и , и , …, и .

Согласно доказанному в первой части этой теоремы, получим пропорции:

…; .

Но из подобия многоугольников следует:

.

И поэтому

.

Значит,

,

откуда

,

Следствие. Площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты сторон, или как квадраты радиусов апофем.

1.8Фигуры с наибольшей площадью

1.8.1 Трапеция или прямоугольник

Рассмотрение этого пункта начнём с решения задачи.

Задача. В роковой в своей жизни день Пахом прошёл 40 вёрст, идя по сторонам трапеции площадью 78 квадратных вёрст. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника, трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчёта. Интересно определить: выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае должен он был получить большую площадь земли?

Решение. Прямоугольников с обводом в 40 вёрст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь.

Вот ряд примеров:

14  6 = 84 кв. вёрст

13  7 = 91 кв. вёрст

12  8 = 96 кв. вёрст

11  9 = 99 кв. вёрст

Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 вёрст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 вёрст, площадь которых меньше, чем у трапеции:

18  2 = 36 кв. вёрст

19  1 = 19 кв. вёрст

19,5  0,5 = 9,75 кв. вёрст.

Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определённого ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определённый ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10  10 = 100 кв. вёрст. Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, - на 22 квадратной версты больше, чем он успел охватить.

1.8.2 Замечательное свойство квадрата

Замечательное свойство квадрата – заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра. Приведём строгое доказательство.

Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая сторона его должна равняться . Докажем, что укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь квадрата больше площади прямоугольника:

.

Так как правая сторона этого неравенства равна , то всё выражение принимает вид: или .

Но последнее неравенство очевидно: квадрат всякого количества, положительного или отрицательного, больше нуля. Следовательно, справедливо и первоначальное равенство, которое привело нас к этому.

Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.

Отсюда следует и то, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. В этом можно убедиться следующим рассуждением. Допустим, что это не верно и что существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, получим квадрат имеющий большую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. В итоге получили, что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это, очевидно, невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Знакомство с этими свойствами квадрата помогло Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения, например, 36 вёрст, он пошёл бы по границе квадрата со стороной 9 вёрст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 квадратную версту, - на 3 квадратные версты больше, чем он получил со смертельным напряжением сил. И, наоборот, если бы он наперёд ограничился какой-нибудь определённой площадью прямоугольного участка, например, в 36 квадратных вёрст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого - 6 вёрст.



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

    Курсовая работа >> Математика
    ... I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе……………………………………………………………………………..7 §1 Понятие многоугольника и его площади……………………….…….…….7 §2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников ...
  2. Свойства многоугольников и их применение в решении задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников ... , которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади. Многоугольник называют выпуклым, если ...
  3. Особенности формирования понятия площади у младших школьников

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... площадь многоугольника равна но . Следовательно, Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на ... выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые ...
  4. Использование методов научного познания при изучении темы Четырехугольники

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется ... классе в главе «Площади многоугольных фигур». В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В ...
  5. Измерение геометрических величин в курсе средней школы

    Реферат >> Педагогика
    ... и площадей; -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников ... : прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0015931129455566