Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Проблема принятия решений составляет суть любой целенаправленной человеческой деятельности Вместе с тем она, несмотря на всё многообразие возможных ус...полностью>>
Математика->Реферат
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план ...полностью>>
Математика->Реферат
1Математика необходима в повседневной жизни, следовательно определенные математические навыки нужны каждому человеку Нам приходится в жизни считать(на...полностью>>
Математика->Реферат
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительно...полностью>>

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

Метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Р. Декартом (1596-1650) и П. Ферма (1601-1665), является мощным аппаратом, позволяющем переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие – система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади многоугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат.

Площадь треугольника

Теорема 1. Если - площадь треугольника

, где , и ,

то справедливо равенство

, (1.8)

где .

будем называть определителем площади треугольника.

Доказательство. Пусть вершины треугольника расположены в первой координатной четверти. Возможны два случая.

Случай 1. Направление (или , или ) расположения вершин треугольника совпадает с направлением движения конца часовой стрелки (рис. 1.30).

Рис. 1.30

Имеем:

.

Но

,

Так как фигура - трапеция.

Аналогично находим, что

и .

Выполнив алгебраические преобразования

,

получим, что:

. (1.9)

В равенстве (1.9) определитель площади , о поэтому перед выражением стоит знак «минус», так как .

Покажем, что . Действительно, здесь

так как

(площадь прямоугольника с основанием и высотой больше суммы площадей прямоугольников с основаниями , и высотами , ; (рис. 1.30), откуда

.

Случай 2. Указанные направления в случае 1 противоположны направлению движения конца часовой стрелки (рис. 1.31)

Рис. 1.31

Здесь

.

Но

,

так как фигура - трапеция, а

и .

получим:

, (1.10)

где . Действительно, здесь

Теорема доказана, когда вершины треугольника расположены в первой координатной четверти.

Воспользовавшись понятием модуля, равенства (1.9) и (1.10) можно записать так:

,

так как

Замечание 1. Мы вывели формулу (1.8), рассматривая простейшее расположение вершин , изображённое на рисунках 1.30 и 1.31; однако формула (1.8) верна при любом расположении вершин .

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1.32.

Рис. 1.32

Здесь

.

Но

,

где

Поэтому, выполнив несложные геометрические преобразования:

получим снова, что , где

.

Площадь n-угольника

Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым, порядок нумерации вершин считается отрицательным, если вершины нумеруются по направлению движения конца часовой стрелки. Многоугольник, не имеющий самопересечения сторон, будем называть простым. Для простого именно n-угольника справедлива следующая

Теорема 2. Если - площадь простого n-угольника , где , то справедливо равенство

,

где

будем называть определителем площади простого n-угольника.

Доказательство. Возможны два случая.

Случай 1. n-угольник – выпуклый. Докажем формулу (1.11) методом математической индукции.

Для она уже доказана (теорема 1). Предположим, что она справедлива для n-угольника; докажем, что она остаётся справедливой и для выпуклого (n+1)-угольника.

Добавим к многоугольнику ещё одну вершину (рис. 1.33).

Рис. 1.33

Имеем:

Таким образом, формула справедлива для (n+1)-угольника, и, значит, условия математической индукции выполнены, т. е. формула (1.11) для случая выпуклого n-угольника доказана.

Случай 2. n-угольник – невыпуклый.

В любом невыпуклом n-угольнике можно провести диагональ, лежащую внутри него, и поэтому доказательство случая 2 для невыпуклого n-угольника аналогична доказательству для выпуклого n-угольника.

Замечание 2. Выражения для запоминаются нелегко. Поэтому, для вычисления его значений удобно выписать в столбец координаты первой, второй, третьей, …, n-й и снова первой вершин n-угольника и провести умножение по схеме:

(1.12) (1.13)

Знаки в столбце (1.12) надо расставить так, как указано в схеме (1.13).

Замечание 3. При составлении столбца (1.12) для треугольника можно начать с любой вершины.

Замечание 4. При составлении столбца (1.12) для n-угольника () необходимо соблюдать последовательность выписывания координат вершин n-угольника (с какой вершины начинать обход безразлично). Поэтому вычисление площади n-угольника следует начинать с построения «грубого» чертежа.



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

    Курсовая работа >> Математика
    ... I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе……………………………………………………………………………..7 §1 Понятие многоугольника и его площади……………………….…….…….7 §2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников ...
  2. Свойства многоугольников и их применение в решении задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников ... , которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади. Многоугольник называют выпуклым, если ...
  3. Особенности формирования понятия площади у младших школьников

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... площадь многоугольника равна но . Следовательно, Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на ... выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые ...
  4. Использование методов научного познания при изучении темы Четырехугольники

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется ... классе в главе «Площади многоугольных фигур». В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В ...
  5. Измерение геометрических величин в курсе средней школы

    Реферат >> Педагогика
    ... и площадей; -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников ... : прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.001986026763916