Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопред...полностью>>
Математика->Реферат
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "...полностью>>
Математика->Задача
Современное общество отчасти можно рассматривать как систему сетей, предназначенных для транспортирования, передачи и распределения электроэнергии, то...полностью>>
Математика->Реферат
Высокие темпы информатизации различных видов деятельности в настоящее время привели к тому, что появилась возможность компьютерного моделирования и пр...полностью>>

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Вычитая из первого уравнения системы (1.4) второе, имеем:

Теперь из первого уравнения системы (1.4) находим :

.

Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора.

1.4.2 Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Рассмотрим одно из доказательств этой теоремы, которое в школьном курсе не рассматривается.

Пусть нам дан прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (рис. 1.21). Докажем, что

.

Рис. 1.21

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь этого квадрата .

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями

Из чего имеем:

,

.

Отсюда получаем:

.

Теорема доказана.

1.4.3 Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перепендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (), – середина стороны – перпендикуляр, опущенный из точки на прямую . (рис. 1.22)

Рис. 1.22

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т. е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

,

(по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

,

следовательно, .

1.4.4 Площадь четырёхугольника

Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.

Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:

,

где , a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD АВ = а, ВС = b,

CD = c, DA = d; ABC = β, ADC = δ (рис. 1.23)

Рис. 1.23

Из в силу теоремы косинусов

Из : .

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

,

или . (1.5)

Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:

,

откуда

(1.6)

В равенствах (1.5) и (1.6) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

Выполним равносильные преобразования, получим

,

что и требовалось доказать.

Теорема имеет ряд следствий.

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

.

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800, т. е.

,

.

Поэтому .

Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.

,

то

, , , .

Имеем:

Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

.

Доказательство. Так как и в силу следствия 1

,

то

1.4.5 Универсальная формула

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид:

,

где - длина нижнего основания, - длина среднего основания, - длина верхнего основания, h – высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 6, а)

,

для трапеции (рис 6, б)

,

для треугольника (рис 6, в)

.

а) б)

в)

Рис. 1.24

1.4.6 Площадь n-угольника

Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.

Рис 1.25

Доказательство. Соединив центр О (рис. 1.25) со всеми вершинами описанного многоугольника, разделим его на треугольники, в которых за основания можно взять стороны многоугольника, а за высоты – радиус круга.

Обозначив этот радиус через R, будем иметь:

,

, и т. д.



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

    Курсовая работа >> Математика
    ... I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе……………………………………………………………………………..7 §1 Понятие многоугольника и его площади……………………….…….…….7 §2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников ...
  2. Свойства многоугольников и их применение в решении задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников ... , которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади. Многоугольник называют выпуклым, если ...
  3. Особенности формирования понятия площади у младших школьников

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... площадь многоугольника равна но . Следовательно, Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на ... выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые ...
  4. Использование методов научного познания при изучении темы Четырехугольники

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется ... классе в главе «Площади многоугольных фигур». В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В ...
  5. Измерение геометрических величин в курсе средней школы

    Реферат >> Педагогика
    ... и площадей; -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников ... : прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0019288063049316