Поиск

Полнотекстовый поиск:

Площади многоугольников

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Страницы: ← предыдущая следующая →

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Смотреть все

Вычитая из первого уравнения системы (1.4) второе, имеем:

Теперь из первого уравнения системы (1.4) находим :

Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора.

1.4.2 Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Рассмотрим одно из доказательств этой теоремы, которое в школьном курсе не рассматривается.

Пусть нам дан прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (рис. 1.21). Докажем, что

Рис. 1.21

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь этого квадрата .

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями

Из чего имеем:

Отсюда получаем:

Теорема доказана.

1.4.3 Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перепендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (), – середина стороны – перпендикуляр, опущенный из точки на прямую . (рис. 1.22)

Рис. 1.22

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т. е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

(по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

следовательно, .

1.4.4 Площадь четырёхугольника

Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.

Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:

где , a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD АВ = а, ВС = b,

CD = c, DA = d; ABC = β, ADC = δ (рис. 1.23)

Рис. 1.23

Из в силу теоремы косинусов

Из : .

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

или . (1.5)

Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:

откуда

(1.6)

В равенствах (1.5) и (1.6) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

Выполним равносильные преобразования, получим

что и требовалось доказать.

Теорема имеет ряд следствий.

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180⁰, т. е.

Поэтому .

Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.

то

, , , .

Имеем:

Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

Доказательство. Так как и в силу следствия 1

то

1.4.5 Универсальная формула

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид:

где - длина нижнего основания, - длина среднего основания, - длина верхнего основания, h – высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 6, а)

для трапеции (рис 6, б)

для треугольника (рис 6, в)

а) б)

в)

Рис. 1.24

1.4.6 Площадь n-угольника

Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.

Рис 1.25

Доказательство. Соединив центр О (рис. 1.25) со всеми вершинами описанного многоугольника, разделим его на треугольники, в которых за основания можно взять стороны многоугольника, а за высоты – радиус круга.

Обозначив этот радиус через R, будем иметь: