Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Проблема принятия решений составляет суть любой целенаправленной человеческой деятельности Вместе с тем она, несмотря на всё многообразие возможных ус...полностью>>
Математика->Реферат
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план ...полностью>>
Математика->Реферат
1Математика необходима в повседневной жизни, следовательно определенные математические навыки нужны каждому человеку Нам приходится в жизни считать(на...полностью>>
Математика->Реферат
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительно...полностью>>

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

а) б)

в) г)

Рис. 1.11

Если даны диагонали e и f и угол α между ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле

.

В частности, площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей (рис. 1.12):

.

Рис. 1.12

Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:

,

где р – полупериметр четырёхугольника.

Рис. 1.13

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты

,

а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле

Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:

.

а) б)

Рис. 1.14

Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле

,

где R – радиус круга, вписанного в многоугольник, а Р – периметр прямоугольника.

Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n-угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задать n-угольник (его форму и размеры), нужно указать 2n – 3 его элемента: например, длины всех сторон. Кроме одной, и величины n – 2 образованных ими углов.

1.4 Вывод формул площадей многоугольников

1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:

.

Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC. Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е.

.

Рис. 1.15

Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):

; ; .

Тогда

;

И, следовательно,

; ,

откуда ;

и .

Рис. 1.16

Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции . А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.

Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.

Следствие 1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.

На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а, которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ, а поэтому площади этих треугольников равны.

Рис. 1.17

Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.

Следствие 1′. Пусть дан отрезок АВ. Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S, есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии (рис. 1. 18)

Рис. 1. 18

Следствие 2. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.

На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований

.

Из следствия 2 следуют важные частные случаи:

  1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.

  2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b, делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b.

Следствие 3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Это следует из того, что (рис. 1.19)

,

,

поэтому .

Рис. 1.19

В частности, имеет место следующее утверждение:

Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k2 раз больше площади второго.

Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:

, (1.3)

где a, b, c – длины сторон треугольника, γ – угол, противолежащий стороне с.

Из (1.3) находим .

Значит,

Замечая, что

, , ,

,

где - полупериметр треугольника, получаем:

.

Таким образом, площадь треугольника

.

Формулу Герона можно вывести, опираясь только на теорему Пифагора и не используя теорему косинусов.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1.20) со сторонами a,b,c.

Рис. 1.20

В нём всегда найдётся высота, основание которой лежит на стороне треугольника, а не на её продолжении. Искомая площадь треугольника АВС:

,

следовательно, для её определения достаточно вычислить . По теореме Пифагора:

, .

Кроме того,

.

Решаем полученную систему трёх уравнений с тремя неизвестными , :

(1.4)



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

    Курсовая работа >> Математика
    ... I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе……………………………………………………………………………..7 §1 Понятие многоугольника и его площади……………………….…….…….7 §2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников ...
  2. Свойства многоугольников и их применение в решении задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников ... , которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади. Многоугольник называют выпуклым, если ...
  3. Особенности формирования понятия площади у младших школьников

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... площадь многоугольника равна но . Следовательно, Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на ... выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые ...
  4. Использование методов научного познания при изучении темы Четырехугольники

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется ... классе в главе «Площади многоугольных фигур». В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В ...
  5. Измерение геометрических величин в курсе средней школы

    Реферат >> Педагогика
    ... и площадей; -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников ... : прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0018987655639648