Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Проблема принятия решений составляет суть любой целенаправленной человеческой деятельности Вместе с тем она, несмотря на всё многообразие возможных ус...полностью>>
Математика->Реферат
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план ...полностью>>
Математика->Реферат
1Математика необходима в повседневной жизни, следовательно определенные математические навыки нужны каждому человеку Нам приходится в жизни считать(на...полностью>>
Математика->Реферат
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительно...полностью>>

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

1.2.2 Понятие о многоугольнике

Термин «многоугольник» понимается в математике и, в частности, в школьном курсе математики двояко. Во-первых, многоугольник как линия. В этом случае многоугольник – это простая (т. е. без самопересечения) замкнутая ломаная, лежащая в некоторой плоскости. И, во-вторых, многоугольник, как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломанной. Эти две трактовки понятия «многоугольник» могут быть использованы самостоятельно в зависимости от характера рассматриваемой задачи. В логическом плане второе понимание термина «многоугольник2 связано с первой теоремой Жордана. В теореме Жордана речь идёт о многоугольнике как о простой замкнутой ломаной.

Каждый многоугольник разбивает все точки плоскости, содержащей этот многоугольник, не принадлежащие самому многоугольнику, на два класса (множества) следующим образом. Любые две точки, принадлежащие одному классу, можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник. И каковы бы ни были две точки, принадлежащие разным классам, - этого сделать нельзя. Один из классов содержит прямые, не пересекающие многоугольник. Множество точек этого класса называют внешней областью многоугольника. Любая прямая, содержащая точки другого класса, пересекает многоугольник и содержит также точки из внешней области многоугольника. Множество точек этого класса называют внутренней областью многоугольника.

Внутренняя область многоугольника вместе с самим многоугольником образует понятие многоугольника во втором смысле (как части плоскости, ограниченной простой замкнутой ломаной).

1.2.3 Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение

В вопросе о площади многоугольник понимается как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. В этом смысле понятие «многоугольник» используется в дальнейшем в изложении школьного курса математики, а площадь многоугольника определяется с помощью указания её свойств:

1) численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;

2) площади равных многоугольников, т. е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

3) площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);

4) площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице.

В различных учебниках по геометрии для общеобразовательных учреждений определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше.

Таким образом, площадь многоугольников можно трактовать как функцию , заданную на множестве всех многоугольников, принимающую числовые значения и обладающую следующими свойствами (аксиомами площади):

  1. неотрицательность площади;

  2. аддитивность площади;

  3. инвариантность площади;

  4. нормированность площади.

Это определение по своему характеру сродни, например, определению арифметического корня (): b – есть неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Ведь и в этом случае арифметический корень определяется указанием его свойств. Для корректного определения арифметического корня надо доказать, что такое число b, во-первых, существует и, во-вторых, единственно. Первое следует из того, что множество значений функции

и ) есть .

Второе следует из строго монотонного возрастания рассматриваемой функции.

Для корректного определения площади многоугольников – функции - требуется доказать, что такая функция существует и единственна.

Определения указанного типа носят название дескриптивных (буквально, описательных, от английского слова descriptive – описательный).

Дескриптивные определения отличаются от определений конструктивных (буквально, построительных, от лат. слова construction – построение).

Примером конструктивного определения является, например, определение степени с натуральным показателем: (если произведение чисел ранее определено).

Поборник ознакомления школьников с понятием дескриптивного определения, видный отечественный математик и педагог Я. С. Дубнов, отмечал, что из уравнения, мы имеем дело с дескриптивным определением этого числа, и что концепция дескриптивного определения, как содержащего формулировку некоей задачи, вполне доступна пониманию школьника, стоит только фиксировать его внимание на дескриптивном характере уже знакомых определений. Если этого не делают, то, вероятно, потому, что недооценивают образовательное значение идеи дескриптивного определения, которое одновременно служит инструментом исследования и преддверием к пониманию аксиоматического метода.

Это высказывание более чем сорокалетней давности актуально и сегодня. В школьных учебниках, где фактически программа реализации дескриптивного определения площади многоугольника выполнена полностью (доказаны существование и единственность функции ) не только ничего не говорится о специфике дескриптивного определения, но и сам термин «дескриптивное определение» не используется. Здесь проявляется многовековая традиция, состоящая в следующем: практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надёжным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Многим же сам вопрос (об определении площади) покажется искусственным: они скажут, что площадь – первичное понятие, не подлежащее определению.

Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился ещё в древности. До недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что «площадь» нуждается в специальном определении.

Между тем их вычисления должны были на чём-то основываться – если не на прямом определении, то на чём-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определённое число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это – основные свойства площади. Так, в одних школьных учебниках площадь многоугольников вообще не определяется, но указываются её свойства, соответствующие аксиомам площади. В других же определения носят формально дескриптивный характер, но свойства, определяющие площадь, используются не для построения общей функции , а для вычисления площади основных плоских фигур: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и плоских фигур, составленных из этих основных. Отметим также, что на основе аксиом площади вполне строго выведены формулы площади указанных основных плоских фигур. Поскольку, однако, существование единственной функции не установлено, то доказанное лишь означает, что если функция существует, то её значения для основных плоских фигур однозначно определяются обычными общеизвестными формулами.

1.3 Различные формулы площадей многоугольников

Площадь прямоугольника со сторонами и вычисляется по формуле (рис. 1.8)

Площадь параллелограмма вычисляется по формулам

,

,

где а – его основание, b – боковая сторона, α – угол между ними, h – высота (рис. 19)

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Площадь многоугольника вычисляется по формулам

,

где а – одна из сторон треугольника, h – проведённая к ней высота (рис. 1.10, а);

,

где a, b – стороны треугольника, γ – угол между ними (рис 1.10, а);

(формула Герона),

где а, b, с – стороны треугольника, а - полупериметр (рис. 1.10, б);

,

где р – полупериметр, r – радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.10, в);

,

где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.10, г);

,

где – сторона треугольника, α – противолежащий ей угол, β,γ – два других угла (рис. 1.10, д);

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле

,

где – сторона правильного треугольника (рис. 1.10, е).

а) б)

в) с)

д) е)

Рис. 1.10

Площадь трапеции вычисляется по формулам

,

где а и b – основания трапеции, h – высота (рис. 1.11, а);

,

где MN – средняя линия трапеции, h – её высота (рис. 1.11, б);

,

где d1, d2 – диагонали трапеции, α – угол между ними (рис. 1.11);

,

где с – боковая сторона трапеции, – перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.11, г).



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

    Курсовая работа >> Математика
    ... I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе……………………………………………………………………………..7 §1 Понятие многоугольника и его площади……………………….…….…….7 §2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников ...
  2. Свойства многоугольников и их применение в решении задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников ... , которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади. Многоугольник называют выпуклым, если ...
  3. Особенности формирования понятия площади у младших школьников

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... площадь многоугольника равна но . Следовательно, Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на ... выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые ...
  4. Использование методов научного познания при изучении темы Четырехугольники

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется ... классе в главе «Площади многоугольных фигур». В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В ...
  5. Измерение геометрических величин в курсе средней школы

    Реферат >> Педагогика
    ... и площадей; -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников ... : прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0018010139465332