Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Проблема защиты информации путем ее преобразования, исключающего ее прочтение посторонним лицом, волновала человеческий ум с давних времен. История кр...полностью>>
Математика->Реферат
Рассмотрим асимметричный планетарный вибровозбудитель (АПВ) с маятниковым устройством противоскольжения (рис. 1). Неподвижный валец имеет форму окружн...полностью>>
Математика->Контрольная работа
Бригада приняла заказ на изготовление 55 шт. продукции П1, 63 шт. продукции П2 и 75 шт. продукции П3. Продукция производится на станках А и В. Для изг...полностью>>
Математика->Шпаргалка
1.1.Математика-наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров выделяет 4 периода развития матем...полностью>>

Главная > Реферат >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Реферат

Великие математики древности: Пифагор, Евдокс, Архимед

Выполнил

Петрусевич Николай Николаевич

Брест 2010

Евдокс Книдский (ок.408-355 гг. до н.э.)

О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе Малой Азии.

Учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.

Евдокс Книдский известен прежде всего как математик и астроном, но кроме того он писал книги по философии, географии, музыке и медицине. О жизни Евдокса известно следующее. В молодости он изучал математику у Архита в Таренте и медицину у Филистиона в Сицилии. 23-х лет он прибыл в Афины и, будучи очень бедным, поселился в гавани Пирея, откуда ежедневно ходил пешком в платоновскую Академию и обратно. Позднее при содействии друзей, он совершил путешествие в Египет, где набирался астрономических знаний у жрецов Гелиопля. Вернувшись в Грецию, он основал собственную школу в Кизике (на берегу Мраморного моря).

По своим философским взглядам Евдокс в ряде вопросов примыкал к Платону. Он признавал теорию идей, но в отличие от Платона полагал, что идеи как-то "примешиваются" к чувственно воспринимаемым предметам. Евдокс бесспорно был великим математиком. Развивая достижения Архита и Теэтета в области теории пропорций, он построил общую теорию отношений, основанную на новом определении величины. Если раньше теоремы теории отношений приходилось доказывать отдельно для чисел, отрезков и площадей, то понятие величины, введенное Евдоксом, включало в себя как числа, так и любые непрерывные величины. Другим важнейшим вкладом Евдокса в математику была разработка так называемого "метода исчерпывания", заложившего основы теории пределов и подготовившего почву для дальнейшего развития математического анализа. Для истории астрономии значения Евдокса было, пожалуй, еще более значительным. Фактически его можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. Евдокс был не только теоретиком, но и первоклассным астрономом-наблюдателем. При своей школе в Кизике он организовал первую греческую обсерваторию, где его ученики вели систематические наблюдения за небесными светилами. Он дал детальное описание созвездий, видимых на широте Греции, составил каталог звездного неба. Получив широкую известность, Евдокс еще раз побывал в Афинах, где беседовал с Платоном на философские темы. Умер он 53-х лет отроду на своей родине, Книде.

Общая теория отношений

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V).

В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона.[1] Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламских математических школ.

В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга».

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство: отношения a:b и c:d равны, если для любых натуральных m, n выполняется одно из трёх соотношений:

либо ma < nb и mc < nd;

либо ma = nb и mc = nd;

либо ma > nb и mc > nd.

В современной формулировке, это означает, что между a:b и c:d нельзя вставить рациональное число.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе — к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b:a с этим дедекиндовым числом.

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественное число.

Метод исчерпывания

Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан (фр. Grégoire de Saint-Vincent, 1584-1667), в античные времена у метода не было специального названия. Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса).

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.)



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. История математики (3)

    Реферат >> Математика
    ... Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок ... которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая ... была геометрической. Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287–212 ...
  2. История математики (4)

    Реферат >> Исторические личности
    ... Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок ... которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая ... была геометрической. Величайшим математиком древности был Архимед (ок.287-212 ...
  3. М.Монтень Опыты

    Реферат >> Педагогика
    ... нашими друидами [41. - Пифагор заимствовал идею метемпсихоза… — ... законам. Архимед [446. - Архимед — величайший древнегреческий математик и механик ... столь великими и щедрыми душами древности. Их ... примерной [140. - Евдокс, почитавший наслаждение высшим ...
  4. Зарождение научного мышления в Древней Греции

    Реферат >> Философия
    ... . Научные достижения В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до ... и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального ...
  5. Основы культурологии (5)

    Контрольная работа >> Культура и искусство
    ... эквивалентом философии и математики. Романтический мыслитель ... Пифагор, Анаксагор, Демокрит, Сократ, Протагор, Платон, Аристотель, Феофраст, Аристарх, Гиппарх, Евклид, Архимед ... стереометрия. Евдокс разрабатывает теорию ... перед великими гениями древности, ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0019550323486328