Комплекс и симпплекс методы решения задач по оптимизации бизнеса

Задание

Дано:

затраты сырья на единицу продукции заданы матрицей затрат;

стоимость реализации равна: р₁ = 5, р₂ = 4;

Требуется:

1) Составить исходную задачу, обеспечивающую максимальную прибыль.

2) Составить двойственную задачу к исходной.

3) Первую задачу решить графическим методом, вторую задачу решить симплекс-методом.

Решение

1).

Для частной экономической модели введем обозначение:

X_j; где: Х_j – количество продукции j – того вида, X_j ≥0.

Составим ограничение по ресурсам в виде системы неравенств:

5хХ₁+5хХ₂≤42

7хХ₁+3хХ₂≤36

2хХ₁+4хХ₂≤74

Среди неотрицательных решений системы неравенств необходимо найти такое, которое соответствует случаю получения максимальной прибыли:

L=5хХ₁+4хХ₂ => max

Это и есть математическая форма исходной задачи, решение которой обеспечивает максимальную прибыль.

2).

Теперь составим задачу, двойственную к исходной.

Это будет задача по обеспечению минимализации затрат.

Для частной экономической модели введем обозначение:

Y_j; где: Y_j – стоимость ресурсов j – того вида, Y_j ≥0.

Составим ограничение по стоимости ресурсов в виде системы неравенств:

5хY₁+7хY₂+2xY₃≥5

6хY₁+3хY₂+4xY₃≥4

Среди неотрицательных решений системы неравенств необходимо найти такое, которое соответствует случаю обеспечения минимальных затрат:

Z=42хY₁+36хY₂+74xY₃ => min

Это и есть математическая форма задачи, двойственной к исходной, решение которой обеспечивает минимальные затраты.

3).

Решим первую задачу графическим методом

Для исходной системы неравенств определяем линии границ и точки их пересечений с осями координат:

5хХ₁+6хХ₂≤42 5хХ₁+6хХ₂=42 (0;7), (8,4;0).

7хХ₁+3хХ₂≤36 7хХ₁+3хХ₂=36 (0;12), (5 1/7;0).

2хХ₁+4хХ₂≤74 2хХ₁+4хХ₂=74 (0;18,5), (37;0).

Для множества решений системы неравенств лежащего в границах многоугольника ОАВС найдем координату точки В решив систему уравнений:

5хХ₁+6хХ₂=42 5хХ₁+6хХ₂=42 5хХ₁+6хХ₂=42 5хХ₁+6хХ₂=42

7хХ₁+3хХ₂=36 14хХ₁+6хХ₂=72 9хХ₁=30 Х₁=3 1/3

5х3,3+6хХ₂=42 16,5+6хХ₂=42 6хХ₂=25,5 Х₂=4,25

Х₁=3,3 Х₁=3,3 Х₁=3,3 Х₁=3,3

Среди неотрицательного множества решений системы неравенств, лежащего в границах четырехугольника ОАВС вычислим значения функции L в точках ОАВС:

L(0)=5х0+4х0=0+0=0; L(А)=5х0+4х7=0+28=28;

L(В)=5х3,3+4х4,25=16,5+17=33,5;

L(С)=5х5 1/7+4х0=25 5/7+0=25 5/7;

Функция L=5хХ₁+4хХ₂ принимает свое максимальное значение в точке В (3,3;4,25).

Ответ(1):

Максимальная прибыль будет обеспечена при одновременном производстве 3,3 штук товара № 1 и 4,25 штук товара № 2.

Решим вторую задачу симплекс-методом

Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:

5хY₁+7хY₂+2xY₃≥5 5хY₁+7хY₂+2xY₃+Y₄=5

6хY₁+3хY₂+4xY₃≥4 6хY₁+3хY₂+4xY₃+Y₅=4

где: Y_j – стоимость ресурсов j – того вида, Y_j ≥0.

Среди неотрицательных решений системы неравенств необходимо найти такое, которое соответствует случаю обеспечения минимальных затрат:

Z=42хY₁+36хY₂+74xY₃ +Y₄+Y₅ => min

Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод.

Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0) для решения задачи на симплекс-метод, т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных.

Здесь "БП" означает столбец базисных переменных

Решение не является оптимальным, т.к. в Z – строке есть отрицательные коэффициенты.

Для улучшения решения перейдем к следующей итерации симплекс-метода, получим следующую симплекс-таблицу.

Для этого надо выбрать разрешающий столбец, т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации симплекс-метода. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в Z-строке. Это столбец Y₃.

Затем выбирается разрешающая строка, т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации симплекс-метода. Она выбирается по наименьшему отношению столбца «коэфф» к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, в начальной итерации (итерация 0) это строка Y₅.

Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 4.

Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец Y₃ в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).

В Z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение.

Z=42хY₁+36хY₂+74xY₃ +Y₄+Y₅ =42х0+36х0+74=1+0х3+0х0=74.

Ответ(2):

Минимальные затраты Z_min= 74.

1. Комплексы меди и золота в лечении ревматоидного артрита

   Реферат >> Химия
   ... линейного строения и циклический комплекс: Побочное действие комплексов золота Эффективность лечения ревматоидных ... способные образовывать координационные соединения с медью. 2.3. Комплексы меди с противовоспалительными соединениями Индометацин относится ...

2. Комплексы утренней гимнастики

   Практическая работа >> Физкультура и спорт
   ... Повторить: 8-10 раз, чередуя с ходьбой. Комплекс № 4 (с погремушкой) 1. «ПОГРЕМУШКИ» ... 4 — вернуться в и. п. Повторить: 4 раза. Комплекс № 6 (с ленточками) , 1. «ВОЛНЫ» И. п.: стоя ... (марширование). Повторить: 3 раза. Комплекс №4 (с мячом малого диаметра — ...

3. Комплексы Связи координационная дативная Обратное связывание

   Реферат >> Химия
   ... 18 электронов» (Правило устойчивости комплексов). Валентные эффекты в координационных ... кольца; Правило 18 в комплексе оказывается «сильнее» критерия ароматичности ... многоцентровые МО. «Сэндвичи» - комплексы с плоскими многоцентровыми ароматическими лигандами. ...

4. Комплекс механизированных работ по лесовосстановлению площадей после ветровала

   Курсовая работа >> Ботаника и сельское хоз-во
   Комплекс механизированных работ по лесовосстановлению ... данной курсовой работе мною представлен комплекс механизированных работ по лесовосстановлению участка ... машинно-тракторного парка лесхоза. Комплекс мероприятий для выполнения лесохозяйственных работ ...

5. Комплекс маркетинга в бизнес-плане финансового оздоровления предприятия

   Реферат >> Маркетинг
   ... – плане финансового оздоровления предприятия. Комплекс маркетинга – структурная часть бизнес- плана – ... возможностей; • Разработку и реализацию комплекса маркетинга. Практическая реализация комплекса маркетинга объединяет все службы ...

6. Комплекс маркетинговых коммуникаций, который использует компания МТС

   Доклад >> Маркетинг
   Комплекс маркетинговых коммуникаций, который использует компания ... в виде молвы и слухов друг с другом. Комплекс маркетинговых коммуникаций состоит из четырех ...

Хочу больше похожих работ...