Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Информатика->Реферат
В простом процессе детали и заготовки изготавливают партиями, в этом случае важен вопрос о рациональном выборе движения партии деталей через всю совок...полностью>>
Информатика->Реферат
Запуск консоли можно сделать так: щелкнуть правой кнопкой мыши по значку «Мой компьютер» и выбрать в появившемся меню пункт «Управление компьютером» и...полностью>>
Информатика->Реферат
Ресторану требуется разработать автоматизированную систему для учета блюд, ингредиентов, напитков, заказов, ценовых характеристик, расчета стоимости з...полностью>>
Информатика->Реферат
У сучасному світі в тій чи іншій мірі з нагромадженим досвідом та інформацією пов'язаний будь-який рід діяльності, серед них і туристичний бізнес. Лог...полностью>>

Главная > Реферат >Информатика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Реферат

Н а Т Е М У:

“Обернені тригонометричні функції.

Тригонометричні рівняння і нерівності”

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

ПЛАН

  1. Обернені тригонометричні функції

  2. Тригонометричні рівняння

  3. Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульо­вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відоб­раження підмножини D множини R на деяку підмножину Е мно­жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто­рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо­вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо­вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно­го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.

Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sin x. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2 свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ­ція у = sin x має безліч проміжків зро­стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].

Отже, функція у = sin х, якщо x , оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не­перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.

Графік функції у = arcsin x учні також можуть побу­дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра­фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsin стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то про­міжку , причому arcsin 0 = 0, arcsin 1 = , arcsin (-1) = -.

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:

,

Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо

Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса

sin (arcsin (-х)) = -х,

sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.

Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,

arcsin (-х) = -arcsin x.

Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsin x відносно початку координат.

Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближе­них обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:

0,9063 sin 65°00';

65° 00' 1,1345 рад;

arcsin 0,9063 1,1345,

оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за табли­цями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.

Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:

0,68 sin 420

420 0,73;

arcsin 0,683 0,73

Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберне­ної функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову

arccos (-х) = - arccos х.

Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.

Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.

1) Чи існує arccos 1,5?

2 ) Чи правильні рівності: arcsin х = , arccos х = -; arccos х = ?

3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).

4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?

5) Обчисліть sin ; .

Детальніше розглянути властивості обернених тригонометрич­них функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:

arccos (-х) = - arccos x,

arcctg (-х) = — arcctg x;

розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.

У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували називати:

1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригономет­ричної функції (в такому разі рівняння виду sin х+х=0 не на­лежить до тригонометричних; його пропонували називати трансцен­дентним) .

2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.

З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав, що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є принциповими. Важливо одне - немає загального методу розв'язування тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгеб­раїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'яз­ків, або мають їх безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.

Розв'язування тригонометричних нерівностей

Розв'язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про властивості тригонометричних функцій, набувають на­вичок теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв'язування найпростіших нерівностей виду

Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, при­родно розв'язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]), з'ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв'я­зування нерівності з однією змінною.

Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей графічний спосіб по­ряд з перевагами має деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки тригонометричних функцій. Тому корис­но показати учням, як такі нерівності розв'язуються за допомогою одиничного кола.

Література.

Алгебра і початки аналізу 10-11 клас

Методика викладання алгебри та початків аналізу


Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики (2)

    Реферат >> Педагогика
    ... язування показникових рівнянь, нерівностей і систем. Поняття про обернену функцію. Логарифмічна функція, її властивост ... рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції. ...
  2. Методика вивчення тригонометричних функцій у старшій школі з використанням мультимедійних засобів

    Курсовая работа >> Педагогика
    ... Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу 2.3 Вивчення властивостей тригонометричних функцій 2.4 Перетворення тригонометричних виразів ... на стільці. При оберненій – проектор встановлюють ... всі три частини останньої нерівності на , дістанемо ...
  3. Функції та способи їх задання

    Реферат >> Астрономия
    ... вняння у+х+2у=0 ви­значає неявну функцію у від х. Загальні властивості функц ... 3.5); у = ctgx (рис. 3.10); 5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); y = ... нерівностей, знайдемо область означення функції: . 3. Приклад: Визначити, яка з заданих функц ...
  4. Поняття множини Змінні та постійні величини Функція область визначення Лінії та поверхні рів

    Реферат >> Астрономия
    ... які задовольняють нерівності , або                               5.2. Функції 5.2.1.Функція. Область визначення ...  . Множина значень: .             Обернені тригонометричні функції  (рис.5.11, 5.12, 5. ... задає ніякої функції; 2) рівняння (5.1) задовольняється ...
  5. Вища фізика. Конспект лекцій

    Реферат >> Физика
    ...               Рис. 4   Зауваження. При нерівномірному обертальному русі вектор  може ... рівняння є ні чим іншим, як похідною по часу від складної функц ... . У СІ [Т] = c. Величину, обернену до періоду коливань Т, називають частотою коливань n : . Частота n показу ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0031428337097168