Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Астрономия->Реферат
Греція, по-грецьки Еллада - країна на Південному сході Європи. Країна є найпівденнішою околицею Балканського півострова. Вона межує з Албанією, Болгар...полностью>>
Астрономия->Реферат
Забота о семье является одной из важнейших задач Российского государства. В соответствии с Конституцией РФ "семья находится под защитой государства". ...полностью>>
Астрономия->Реферат
Волинь... Прадавня українська земля, край небесно-чистих озер і віковічних лісів, батьківщина талановитих і працьовитих людей. Тут на кожному кроці по...полностью>>
Астрономия->Реферат
Карпати... Величні і неповторні в красі своїй гори, покриті віко­вічними лісами, бурхливі ріки, кришталево прозорі високо­гірні озера — «морські очі»,...полностью>>

Главная > Реферат >Астрономия

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Найпростіші дії з матрицями

Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої , і скаляр . Добутком на А називається матриця розміру :


Щоб помножити матрицю А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Означення. Сумою двох матриць

розміру є матриця


такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:


Добуток матриць визначається через добуток лінійних перетворень. Нехай дано дві матриці: матрицю В розміру і матрицю А розміру

(1)

Розглянемо лінійні перетворення , , які можна подати у вигляді

.

Виключаючи змінні , знаходимо лінійне перетворення , яке можна записати так:

.

Позначивши

, (2)

подамо це лінійне перетворення у вигляді

,

або

..............................................

Останню систему зручно записувати у векторній формі , де матриця С розміру має вигляд

(3)

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А:С=ВА.

Елемент матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

Добуток матриць В розміру та А розміру є матрицею, розмір якої .

Лінійний n-вимірний простір

План:

  1. Лінійний n-вимірний векторний простір.

  2. Базис.

  3. Власні значення та власні вектори матриць.

Векторний простір.

Означення. Упорядкована сукупність m дійсних чисел називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:

.

Числа називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.

Вектор, утворений транспортуванням вектора а, позначається так: .

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення. Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і позначається .

Векторні простори , , можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, ..., 0), або так само, як число нуль – знаком 0. Вектор –а = (-а1 , -а2, ..., -аm) називається протилежним вектору а = (а1 , а2, ..., аm).

На прямій , площині та у тривимірному просторі вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1)


Рис. 1

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець – із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)


Рис. 2

Вектор , де - деяке число, паралельний вектору а і має довжину ; напрям його при той самий, що й вектора а, при - протилежний напряму а (рис. 3).


О

0,5а

значення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

.

Добутком числа (скляра) на вектор а називається вектор , координати якого дорівнюють добутку на відповідні координати вектора а:

.

Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:


2. Означення: Базисом векторного простору називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:

можна розглянути як базис простору .

Розглянемо дві системи векторів:

(2)

(3)

Система векторів (3) лінійно виражається через систему векторів (2), якщо кожен з них є лінійною комбінацією системи (2). Тобто .

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв’язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи (2) утворити матрицю , то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов'язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Звязок між базами.

має базис:

(4)

Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що

(5)

тобто вектор - є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (5) єдиний для вектора .

Нехай в просторі задано два базиси

(6)

(7)

Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді

(8)

Означення: Матрицю , стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е’.

Якщо розглянути дві матриці е і е’, стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е’ базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді

. (9)

З другого боку, якщо T’ – матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність

(10)

Використовуючи (9) і (10) маємо:

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в задано два базиси (6) і (7) з матрицею переходу Зв’язок між координатами довільного вектора в цих двох базисах дає формула:

(11)

Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність

(12)

яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е’.

Власні числа і власні вектори матриці.

Нехай деяка квадратна матриця розмірності з дійсними елементами, - деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е - оди­нична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.

Поліном n-го степеня || називається характеристичним поліном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характерис­тичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок: лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що ліній­не перетворення характеризується набором власних чисел, які в подаль­шому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спектром матриці А.

Розглянемо лінійне перетворення в просторі таке, що переводить відмінний від нуля вектор в вектор пропорційний самому вектору , тобто:

(1)

Такий вектор будемо називати власним вектором перетворення , а - власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення , в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

Будемо вважати, що лінійне перетворення має такий характеристич­ний поліном, що всі його корені дійсні і різні між собою. Тобто, розв'язавши рівняння n-го порядку || = 0 будемо мати n-різних дійс­них коренів . Якщо виконується така умова, то лінійне пере­творення дійсного лінійного простору має простий спектр.

Кожному власному числу , відповідає свій власний вектор. Власних векторів у цьому випадку буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів, їх можна розглядати як базис , в якому матриця лінійно­го перетворення А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.

Розв’язання лінійних

рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

………........................................


(1)

до трикутного вигляду

;

.............. (2)

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт а11. Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова а11.

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

х1 х2 ... хn 1


Іноді вводять контрольний стовпець що дає змогу виявляти помилки.

Поділивши перший рядок на а11, позначимо

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.

Позначивши

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1 х2 ... хn 1


Для невідомих , маємо систему n-1 рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .

Позначивши

,

помножимо другий рядок послідовно на і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1 х2 х3 ... хn 1


Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:

х1 х2 х3 ... хn-1 хn 1


Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи . Запишемо відповідну систему рівнянь:


Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають хn-1, і т.д.


Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Теорія автоматичного управління спеціальними системами

    Конспект >> Коммуникации и связь
    ... . З усіх видів імпульсної модуляції найпростішою є АІМ. У випадку АІМ імпульсний елемент ... еквівалентним послідовним з’єднанням найпростішого імпульсного елемента (НІЕ) ... вняння (4.8) входять також квадратна матриця та прямокутні матриці та розмірами , ...
  2. Економічне прогнозування

    Учебное пособие >> Экономика
    ... йні фільтри, з-поміж яких найпростіший — ковзна середня з інтервалом ... розрахунків включає етапи: обчислення матриці X і вектора у обертання матриці С =; розрахунок параметрів ; ... різні способи усунення автокореляції. Найпростішим є спосіб різницевих перетворень ...
  3. Онкогенетика: сучасний стан і персективи розвитку

    Дипломная работа >> Медицина, здоровье
    ... , і кожна з них служить шаблоном, матрицею для синтезу інформаційної РНК ... Здоровий спосіб життя передбачає виконання найпростіших і загальновідомих правил гігієни ... Здоровий спосіб життя передбачає виконання найпростіших і загальновідомих правил гігієни ...
  4. Основи інформатики. Теорії інформаційних систем та обчислювальної техніки

    Конспект >> Информатика, программирование
    ... встановити значення числа. Найпростішим способом запису натурального ... монохромний з пасивною матрицею; кольоровий з пасивною матрицею; кольоровий з активною матрицею. У дисплеях на ... пристрої введення-виведення утворюють найпростіший інтерфейс користувача? ...
  5. Система стиснення відеоданих на основі аналізу ентропійності

    Дипломная работа >> Информатика
    ... генерації коду. Як моделі бралися найпростіші комбінаторні моделі, а генерац ... зворотними значеннями елементів матриці . При фіксованих значеннях елементів матриці функція (2.1) буде ... руси, рикетсії, спірохети, грибки, найпростіші). 4) психофізіологічні: фізичн ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0013489723205566