Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Лекция
Пример 1. 1. . Определение 5. Решением дифференциального уравнения -ого порядка на промежутке называется всякая функция , имеющая на данном промежутке...полностью>>
Математика->Курсовая работа
Актуальность выбранной темы определяется тем, что в эконометрике широко используются методы статистики. Во многих практических задачах прогнозирования...полностью>>
Математика->Реферат
Представленная работа посвящена теме «Бесконечные произведения». Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об эт...полностью>>
Математика->Реферат
В последние десятилетия с установлением рыночных отношений наблюдается усиление конкурентной борьбы на внутреннем рынке со стороны отечественных предп...полностью>>

Главная > Реферат >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

СОДЕРЖАНИЕ

  1. Введение.......................................................................................................

  2. Аналитические методы решения уравнений в частных производных...

  3. Численные методы решения уравнений матфизики................................

    1. Метод конечных разностей...............................................................

    2. Метод конечных элементов..............................................................

  1. Дискретизация расчетной области.............................................................

  2. Формирование матрицы неизвестных температур системы линейных уравнений......................................................................................................................

  3. Построение изотерм.....................................................................................

    1. Нахождение температур в любой точке.............................................

    2. Алгоритм построения изотерм............................................................

  1. Характеристика программы........................................................................

  2. Результаты программы................................................................................

  3. Список используемой литературы.............................................................

  4. Приложение..................................................................................................

    1. Листинг программы...........................................................................

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время мы наблюдаем широкое применение математических методов в самые различные сферы человеческой деятельности. Это не только технические и экономические науки, где эти методы давно стали главенствующими при исследовании изучаемых процессов или явлений, но и развивающиеся сейчас прикладные науки управления: менеджмент, социально–экономическое прогнозирование, теория оптимального управления и т.д. Математизация различных областей знания сегодня, математическое моделирование как инструмент познания завоёвывает всё новые позиции в различных областях деятельности человека.

Большинство физических законов природы можно сформулировать на языке дифференциальных уравнений с частными производными. Производные в этих уравнениях появляются, потому что они описывают важнейшие физические величины: скорость, ускорение, силу, температуру, трение и т.д. Таким образом, возникают уравнения в частных производными, содержащие неизвестную функцию, которую необходимо определить. Изучением математических моделей физических явлений, описываемых уравнениями в частных производных, занимается математическая физика.

В данной курсовой работе рассматривается одно из самых важных уравнений матфизики – уравнения Лапласа на примере решения задачи Дирихле в заданной плоской области.

Многие установившиеся процессы сводятся к уравнениям Лапласа.

(1)

Ставится задача о нахождении стационарного распределения температуры внутри многоугольника, если задано распределение температуры вдоль его сторон.

Одна из главных трудностей, возникающих при решении этой задачи, обусловлена сложной формой границы расчетной области. Аналитическое решение задачи Дирихле для уравнения (1) удается получить лишь в частных случаях для простейших областей (прямоугольник, круг сектор, шар). Основными методами решения поставленной задачи являются численные методы.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Существует целый арсенал методов для решения уравнений в частных производных. Перечислим некоторые из них:

1) Метод разделения переменных

Уравнение с частными производными с n переменными сводится к n обыкновенным дифференциальным уравнениям. Существует множество разнообразных по форме областей, для которых можно в явном виде выписать решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Например, для прямоугольника.

(рис. 1).

Рис.1 Прямоугольник с температурами на границе

где An , Bn, Cn, Dn – коэффициенты Фурье функций f1(x),f2(x),f3(y),f4(y) равные

2)Метод конформных отображений

Существует способ решения в областях со сложной границей. Этот способ основан на конформных отображениях (рис. 2).

Рис.2 Конформные отображения

При таком отображении уравнение Лапласа в плоскости z переходит снова в уравнение Лапласа, в координатной плоскости w не меняется.

После того, как решение получено в простой области, достаточно подставлять в это решение выражения: u=u(x,y), v=v(x,y) и мы получим решения исходной задачи.

3)введение новой переменной

Исходное уравнение преобразуется к другому уравнению с частными производными для другой неизвестной функцией, которая решается легче, чем исходная.

4)Метод преобразования координат

Исходное уравнение сводится к более простому уравнению в новой системе координат.

5)Вариационные методы

Вместо уравнения с частными производными решается некоторая задача минимизации. Оказывается, что функция, доставляющая минимум некоторому выражению, является решением исходного уравнения.

6)Метод интегральных уравнений

Уравнения с частными производными сводится к интегральному уравнению (уравнению, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла).

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТФИЗИКИ

3.1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Для численного решения задач математической физики обычно применяется метод конечных разностей или метод сеток. К сеточным методам относятся те, в которых разыскивается таблица приближенных значений искомой функции в некоторой совокупности точек, называемой сеткой. Отдельные точки называются узлами сетки. Уравнения, которые служат для определения приближенного решения, называют сеточными. Основания для выбора сетки и для получения сеточных уравнений отличают один сеточный метод от другого.

Метод конечных разностей позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению алгебраических (разностных) уравнений. Дифференциальная задача аппроксимируется дискретной разностной задачей.

Пусть на плоскости (x, y) задана область D, ограниченная замкнутой кривой L (рис.3). Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа

(2)

Для решения задачи (2) методом конечных разностей надо в области D+L построить сетку и аппроксимировать на этой сетке уравнение и краевое условие. Искомая функция определяется её значением в узлах сетки.

Узлы сетки, лежащие на границе области, называются граничными, а все остальные – внутренними. Для примера рассмотрим прямоугольную сетку. Они очень удобны при организации вычислительных алгоритмов.

Рис.3 Область D

Используя понятие частной производной, можно записать для малых шагов H2 и H3 (рис.3).

Тогда

В случае квадратной сетки уравнение (2) для нулевого элемента будет иметь вид:

Там, где узлы прямоугольной сетки не являются равноотстоящими, применяют следующие вычислительные шаблоны (рис. 4):

Рис.4 Сетка с разными длинами шага

Уравнение (2) будет иметь вид

Так как вычислительные шаблоны связывают лишь несколько соседних узлов, то матрица коэффициентов системы линейных уравнений для определенных узловых неизвестных оказывается “разряженной”, т.е. содержит много нулевых элементов.



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

    Реферат >> Математика
    ... эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т. е. в выборе ... температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от ... в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по ...
  2. Методика решения задач по теоретическим основам химической технологии

    Дипломная работа >> Химия
    ... достаточно задач для тренажа, аналогичных задач для закрепления методов решения, задач для ... численных значений. Конкретные, наиболее часто встречающиеся ошибки в решении задач ... от температуры). Также наблюдаются затруднения при нахождении равновесных ...
  3. Приближенные решения задач математической физики

    Реферат >> Математика
    ... методы решения задач ... численные методы). К ним можно отнести метод сеток (метод конечных разностей), метод характеристик, при котором задача ... стационарных задачзадача о распределении температуры ... нахождение решения уравнения эквивалентно нахождению элемента ...
  4. Решение вопросов теории вероятности на уроках математики

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... вопросов. Основными методами решения задач являются: Изучение ... самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач; ... события А называется численная мера возможности наступления ... замерзнет, если понизить температуру, поэтому это событие ...
  5. Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

    Методичка >> Информатика
    ... решения. Примеры современных физических задач, для решения которых используются численные методы ... моно привести задачу нахождения статического прогиба ... температура, – теплоемкость, – коэффициент теплопроводности, q – плотность источников тепла. Для решения ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.001492977142334