Поиск

Полнотекстовый поиск:

Методы решения уравнений содержащих параметр

Главная > Дипломная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Страницы: ← предыдущая следующая →

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Смотреть все

Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5.

Откуда, учитывая , получаем

Ответ. .

Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений

В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям.

Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий.

Необходимые условия задач этого пункта:

В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.
Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.

Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М₁, координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.

Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах (см. [], [], []).

Пример. При каких уравнение имеет одно решение.

Решение. При замене на (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами – решение то и – решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то .

Тогда . Так как , то , что возможно только для случая равенства и при . Тогда получаем . Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем .

Ответ. При уравнение имеет одно решение.

«Каркас» квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент.

Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. Где – конструируют «каркас», на котором строится теория квадратичной функции (см. [], [], [], [], [], [], [], [])

X₀

Таблица 1.

Пример. При каких значениях параметра все пары чисел , удовлетворяющие неравенству , одновременно удовлетворяют и ?

Решение. Часто бывает удобно начать решение задачи с рассмотрения упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить задачу: при каком соотношении и все решения неравенства одновременно являются решениями неравенства . Ответом на этот вопрос очевиден: .

Тогда в этом примере нужно, чтобы при всех .

Найдем дискриминант, . Дискриминант меньший либо равный нулю определит искомый параметр.

, что равносильно системе

Ответ.

«Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы

Пример. При каких значениях наибольшее значение трехчлена меньше 4.

Решение.

Так как графиком трехчлена является парабола, то необходимость наибольшего значения меньшего 4 обязывает параметр .
Наибольшее значение будет в вершине параболы.

. Ограничение тоже обязательно. Решением этого неравенства есть . Учитывая необходимость , то .

так как , то решением будет объединение . Тогда Ответ. .

Корни квадратичной функции. Теорема Виета

Рассмотрим квадратное уравнение . Найдем корни этого уравнения . По теореме Виета выполняется следующая система уравнений , где и . Рассмотрим задачу, решение которой при использовании теоремы Виета намного упрощается.

Пример. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Решение. Найдем дискриминант, . Уравнение имеет два корня при любом . Используя теорему Виета, найдем . Таким образом, найдем наименьшее значение функции на множестве . Поскольку при , а при , то наименьшее значение при .

Ответ. .

Аппарат математического анализа (касательная к прямой)

Учащиеся, как правило, затрудняются с определением касательной к кривой (типичен ошибочный ответ: «Касательная – это прямая, имеющая с кривой одну общую точку»), не видят связь между касательной к графику и ее производной, не понимают смысла переменных в уравнении касательной, не могут применить соответствующие факты к решению задач, особенно геометрического характера. Пояснить учащимся суть вещей могут помочь, например, следующие задачи (см. [], [], [], []).

Пример. При каком значении параметра k касательная к графику функции образует с осью ОХ угол, равный , и отсекает от второй четверти треугольник, площадь которого равна ?

Решение. Пусть – координаты точки касания. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

По условию имеем , . Тогда . Уравнение касательной становится таким: . Найдем координаты точки пересечения касательной с осями.

При .

Тогда, с учетом второй четверти и :

Ответ.

Пример. Найти все значения параметра , при которых на графике функции существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой .

Решение. Ясно, что угловой коэффициент касательной, о которой говорится в условии, равен 2. Тогда, если – абсцисса точки касания, то , то есть .

Остается потребовать, чтобы это уравнение имело единственный корень. . При уравнение не имеет смысла, при уравнение равносильно:

Введем замену . Тогда . Для единственности корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, .

При таких значениях параметра корнем уравнения является , который, как очевидно, принимает отрицательные значения.

Ответ. .

Пример. Найти критические точки функции .

Решение. Напомним определение критической точки. Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической.

Имеем . Поскольку найденная производная существует во всех внутренних точках области определения функции , то критические точки следует искать среди корней уравнения , откуда . Осталось потребовать, чтобы .