Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
О том, что в Солнечной системе между орбитами Марса и Юпитера движутся многочисленные мелкие тела, самые крупные из которых по сравнению с планетами в...полностью>>
Математика->Реферат
4 октября 1957 г. СССР произвел запуск первого в мире искусственного спутника Земли. Первый советский спутник позволил впервые измерить плотность верх...полностью>>
Математика->Реферат
   Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрат...полностью>>
Математика->Реферат
Неизбежная рассогласованность ритма производства поставщиков и потребителей, дискретность процесса поставок, возможность случайных колебаний в интенси...полностью>>

Главная > Реферат >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Содержание:

Введение……………………………………

1. Введение

Дискретные динамические модели управляемых систем — это до­вольно важный в теоретическом и практическом отношении класс ма­тематических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Они возникают как вполне естественные при моделировании дискретных процессов, таких как задачи распределения ресурсов, обработка и пе­редача информации цифровыми электронными устройствами, либо опосредованно — при дискретизации непрерывных моделей для прак­тических расчётов или с целью учёта неоднородности их поведения, либо чисто искусственным путём при организации различных итера­ционных вычислительных процедур.

К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения задач оптимального управления. Од­нако подавляющее их большинство относится к системам с непрерыв­ным временем. Для систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Основная причина — отсутствие в общем случае дискретного аналога принци­па максимума Понтрягина для непрерывных систем, вокруг которого

долгое время группировались в основном теоретические работы в об­ласти оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом свидетельствуют из­вестные работы по дискретным системам [1-3] и др.

Значительно более продвинутыми оказываются результаты, осно­ванные на принципе оптимальности Беллмана и общих достаточ­ных условиях оптимальности Кротова [4]. К ним относятся усло­вия локальной оптимальности и итерационные методы улучшения В. И. Гурмана [5]. В то же время разработано мало эффективных методов синтеза оптимального управления для нелинейных дискрет­ных систем.

Данная работа посвящена приближённым методам синтеза за­конов оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова и глобальных оценок, которые не требуют априори хороших аналитических свойств исследуемых моделей.

Конкретно речь идет о следующих новых методах приближённо­го синтеза оптимального управления:

  • метода полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллмана;

  • метода траекторного восстановления функции цены.

В первом разделе описывается дискретная модель управляемой системы, рассматриваются ее методические преобразования, дается постановка общей задачи оптимального управления, в том числе, в форме синтеза.

Во втором разделе дается метод приближенного синтеза опти­мального управления, как одного из способов задания функции Кро- това на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана степен­ным полиномом, в том числе точечную интерполяцию и аппроксима­цию по методу наименьших квадратов.

В третьем разделе предлагается метод приближенного синтеза, основанный на восстановлении так называемой функции цены.

Обсуждаются их приложения к практическим задачам, в част­ности к задаче оптимизации пространственного маневра вертолета и задаче об оптимальной стратегии устойчивого развития.

2. Постановка задачи

Рассматривается дискретная задача оптимального управления [4] о минимуме функционала

N-1

I(x(i),u(i)) = F(x(N)) + ^ /0(i,x(i),u(i))

i=0

на множестве D, определенном следующими условиями:

(1) x(i + 1) = / (i,x(i),u(i)), i = 0,1 ,...,N — 1,

x(i) e Vx(i) С Rn, u(i) e Vu(i,x(i)) С Rr,

x(0) e Vx(0), x(N) e Vx(N).

В соответствии с теорией Кротова, с помощью произвольной функ­ции p(i,x), строятся следующие конструкции:

R(i, x, u) = p(i + 1, /(i, x, u)) — p(i, x) — /о(i, x, u), G(x(0),x(N)) = F(x(N)) + p(N, x(N)) — p(0, x(0)),

P(i,x)= sup R(i,x,u), p(i) = sup P(i,x),

uЈV„(i,x(i)) x(i)eVx(i)

m = inf G(x(0),x(N)) : x(0) e V(x)(0),x(N) e V(x)(N).

Задача сводится к поиску такой последовательности пар

{(x(i),u(i))s}c D

и такой функции p (разрешающей, или функции Кротова), что вы­полняются достаточные условия оптимальности:

R(i,xs(i),us(i)) ^ i), G(xs(0),xs(N)) ^ m.

3. Аппроксимации степенным полиномом

Здесь рассматривается метод приближенного синтеза оптималь­ного управления, как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполя­ционным полиномом.

Предполагается, что Vx(0) = {x(0)} , Vx(i) = Rn, i = 0,1,... ,N. В данном случае функция G(x(0),x(N)) зависит только от x(N), так как левый конец траектории закреплен.

Функция p(i,x) выбирается так, чтобы P(i,x) не зависела от x, а функция G( x(N)) не зависела от x(N) , конкретно посредством из­вестных соотношений типа Беллмана относительно p(i, x):

  • P (i, x(i)) =0,i = 0,1,...,N — 1, G(x(N)) = 0.

В общем случае их точное решение найти не удается, и приходится ограничиваться приближенными вычислениями.

Предлагаемый метод основан на аппроксимации разрешающей функции p(i,x) некоторым многомерным интерполяционным поли­номом

  • p(i, x) = J2 ^a(i)ga(x),

a

где {ga(x)} — некоторый набор заданных базисных функций, {^a(i)} --соответствующий набор коэффициентов, подлежащих определению из условий интерполяции равенств (1):

[фa(i)] =[ga(xp W)]-^

SUPueU (i,x(i))(Ea фа(i + 1)ga(/(i,x(i),u)) — x(i), u)) в

  • a(N)] = [ga(xe (N ))]-1[F (xp (N))], а, в = 1, 2,...,M,

где в — номер узловой точки, [(-)a] ,[(^)в],[(^)ae] —матрицы размером (слева направо) M х 1, M х 1, M х M.

Однако в многомерных задачах при интерполяции необходимо согласование формы интерполяционного полинома и сетки узлов ин­терполяции, обеспечивающее обратимость матрицы [ga(xp(i))]. Вы­бор этих двух элементов, в конечном счете, и определяет метод при­ближенного решения поставленной задачи синтеза.

В качестве интерполяционного полинома использована следую­щая известная в теории интерполяции конструкция:

(5)

p(i,x(i))= Ј ji = 1mi (xi(i)j X

(j (x2 (i)j (••• Ј jn=1mn j (i)(xn(ij)),

здесь 1j1,j2,...,jn(i) —неизвестные коэффициенты интерполяционного полинома, которые подлежат вычислению и которые, в конечном сче­те, определяют приближенно-оптимальный синтез управления. Чис­ло этих коэффициентов совпадает на регулярной решетке с числом узловых точек и равно произведению количества узловых точек по каждой из фазовых координат M = mi m-2 mn.

При решении практических задач, как правило, диапазоны изме­нения фазовых координат либо заданы, исходя из физического смыс­ла задачи, либо могут быть определены с помощью методов оценок множеств достижимости. Поэтому узловые линии (дискретные) для рассматриваемого интерполяционного полинома могут быть постро­ены следующим образом. В некоторый момент времени i = i* диапа­зоны изменения фазовых координат разбиваются точками на mi — 1 отрезков по оси xi, на (m-2 — 1) отрезков по оси x2, и т.д. Через эти точки на каждой оси проводятся (n 1)-мерные гиперплоскости, ор­тогональные этой оси. Взаимное пересечение этих гиперплоскостей определяет M = mi m-2 mn узловых точек. Через них про­водится регулярное семейство узловых линий xp(г),в = 1, 2,..., M выбранного вида, например, семейство прямых: xp(i) = const, линей­ных функций: xp(i) = Kii + Ко, парабол: xp(i) = K212 + Kii + Ко, и т. д. В этом случае коэффициенты 1&j1,j2,...j(i) интерполяционно­го полинома (5) будут либо константами, либо простыми функциями времени.

При постановке рассматриваемой задачи учитывалось только од­но фазовое ограничение -- ограничение на левый конец траектории, которое в данном случае представляет собой заданную точку xo(0). Другие фазовые ограничения (или их совокупности) могут быть учте­ны с помощью известного метода штрафов.

Близость полученного нами приближенного синтеза оптималь­ного управления u(i,x(i)) к строгому оптимуму можно определить с помощью следующей верхней оценки, доставляемой достаточными

N-i

Ј

i=0

+

Найденное управление тем ближе к оптимальному, чем меньше эта оценка. Возможность вычисления оценки—это важное преимущество перед «чистым» методом Беллмана. Она позволяет организовать ре­гулярную процедуру уточнения приближённого решения за счет уве­личения числа узлов интерполяции и их расположения в фазовом пространстве, а также дает критерий ее остановки.

Алгоритм описанного метода состоит из следующих этапов:

  • в рассматриваемой области задаются узловые линии, и со­ответствующая конструкция полинома (5);

  • в моменты времени i решается система уравнений (4) с на­чальными условиями. В результате определяются коэффи­циенты интерполяционного полинома и приближенный син­тез оптимального управления;

  • вычисляется оценка точности приближенного синтеза опти­мального управления (6). Если эта оценка неудовлетвори­тельна, то следует повторить шаги 1) и 2) с увеличением числа узловых линий;

  • для найденного синтеза управления и заданных начальных условий решается система

x(i + 1) = /(i,x(i),u(i,x)), i = 0,1,. .., N — 1, x(0) = xo

в направлении от 0 к N. В результате определяются при­ближённые оптимальные траектория и управление — пара (x(i),u(i)), на которой функционал I достигает приближен­ного абсолютного минимума в рассматриваемой области.



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Задача оптимального управления ресурсами промышленного предприятия с учетом взаимодействия со см

    Реферат >> Математика
    ... принципа максимума в дискретном варианте сводит первоначальную задачу к задаче линейного программирования большой размерности ... постановки линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями. Под задачей оптимального управления со смешанными ...
  2. Управление запасами (5)

    Курсовая работа >> Экономико-математическое моделирование
    ... говорить о единой модели управления запасами. Основными элементами задачи оптимального управления запасами являются: система снабжения ... верхнего и нижнего критических уровней при дискретно распределенном спросе Агропромышленное объединение планирует ...
  3. Оптимальные и адаптивные системы (2)

    Закон >> Промышленность, производство
    ... = 6, b1 = -12. Запишем закон управления u0= -12t + 6. 2.4.2. Задача оптимального управления , xRn, uRm, m≤n Для объекта ... G Рис. 1.6. Схема оценки частной производной 1.4.2. Дискретная оценка градиента (1.13) y Y Недостаток: невозможность ...
  4. Нелинейные и дискретные системы автоматического управления

    Лекция >> Коммуникации и связь
    ... закона. Часто оптимальный нелинейный закон управления состоит в переключении ... система управления поэтому относится к классу дискретных. В дискретной системе управления один или ... . В практических задачах удобнее определять дискретную передаточную функцию по ...
  5. Управление большими системами

    Реферат >> Астрономия
    ... операций исследует принципы оптимального управления деятельностью коллективов, ... может служить транспортная задача оптимального распре­деления грузопотоков в сложной ... примем а = 0,5. Рассмотрим теперь дис­кретную последовательность событий в системе. После ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.001953125