Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Курсовая работа
В реальных системах принятия решений, действующих в сложной стохастической обстановке, приходится иметь дело с многочисленными событиями. В ряде случа...полностью>>
Математика->Курсовая работа
Для того чтобы успешно учиться в ВУЗе, нужно уметь самостоятельно организовывать учебную деятельность и, значит, рефлексивно владеть своими учебными д...полностью>>
Математика->Реферат
Если задана функция y (x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого зн...полностью>>
Математика->Курсовая работа
Сельскохозяйственный производственный кооператив «Хорнзор» создан на основании учредительного договора и решения учредительного собрания от 15 февраля...полностью>>

Главная > Реферат >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

МПС РФ
Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Р Е Ф Е Р А Т

«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»


выполнила:
студентка группы 29 Г
Митрохина Анна

Проверил :
Гателюк О.В.

Омск
2000г.

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Самое важное из истории интегрального исчисления!

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях Новая астрономия (1609 г.) и Стереометрия винных бочек (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где N - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

О

пределим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ΔS1, ΔS2… ΔSn (рис. 1). Каждая хорда длины ΔSi (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ΔPi равна:


Применяя теорему Лагранжа получим:

,
где

Следовательно





Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме



, или сумме


, (1)


распространенной на все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔSi стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2)
, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xii.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.


или


(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а x b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t0 ≤ t ≤ t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)


Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

    Реферат >> Математика
    ... выше формуле: Площадь поверхности тела вращения. Мi B А х xi Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг ... Вычисление объемов тел по поперечным сечениям. Вычисление объемов тел вращения. Площадь поверхности тела вращения. Функции нескольких ...
  2. Величины, понятие, методика преподавания

    Конспект >> Математика
    ... отрезка и её измерение…………………………………………….. 6с. Площадь фигуры и её измерение…………………………………………. 6с. ... , - уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата). Однако, результат ... в начальном курсе математики. Длина, площадь, масса, время, объём - величины ...
  3. Высшая математика. Исследование интегралов и теоремы гипотез

    Шпаргалка >> Математика
    ... . Вычисление площадей плоских фигур. x-y+2=0 y=0 x=-1 x=2 S - ? Вычисление объёмов тел вращения. y2=4x y=0 x=4 Vx - ? Вычисление площадей поверхностей тел вращений. Длина ...
  4. Информационные технологии как средство формирования пространственного воображения школьников при

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... при вращении вокруг оси (достроить). Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения вокруг ... задач на нахождение элементов конуса, площади поверхности конуса; способствовать развитию пространственного воображения ...
  5. Металловедение твёрдых сплавов

    Задача >> Промышленность, производство
    ... составлены таким образом, что площадь отверстий ("площадь в свету") по ... на измельчение тела, прямо пропорциональна вновь образующимся поверхностям. Предположим, что ... - сжимающая сила; L - длина куска; F - площадь его поперечного сечения; E - модуль упругости ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0016069412231445