Комплексні числа їх зображення на площині Алгебраїчна тригонометрична і показникова форми ком

Пошукова робота на тему:

Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.

1. Комплексні числа

1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа

Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.

Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював –1. Позначивши його через , одержимо . Звідси . Величина  називається умовною одиницею. Сам термін “уявне число” виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :

де  - ціле додатне число.

Числа вигляду  , де  - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду  - комплексними, де  i  – дійсні числа.

Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу – дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною  , а на уявній – відрізок довжиною , можна побудувати точку  (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При  маємо зображення дійсного числа  на осі  (дійсна вісь),  а при   маємо зображення чисто уявного числа на осі  (уявна вісь). Площина  називається комплексною. Кожній точці  на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу  відповідає одна й тільки одна точка  комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор

            Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.

            Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа  і  рівні тоді і тільки тоді,  коли  і . Звідси, як  

          Рис.8.1                       наслідок, маємо ,

                                    якщо  і . Поняття “більше” (>), “менше” (<) для комплексних чисел не введено.

   Приклад. За яких умов комплексні                                                  числа  і  рівні?

Р о з в ’ я з о к. З умови рівності двох комплексних чисел одержуємо:

Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо  і . Отже, задані комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли 1) і  2).

Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

а). Додавання і віднімання. Сумою двох комплексних чисел  і  називається число , а їх різниця запишеться так: .

Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів (рис.8.2).

б). Множення двох комплексних чисел  і  здійснюється так само, як і множення двочленів:

Числа вигляду  і називаються комплексно

Рис.8.2

спряженими. Їх добуток є дійсне число  

в). Ділення. Нехай потрібно число  поділити на число , тобто

Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.

г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до  степеня з наступною  зміною степенів   за формулами:

, де  ціле додатне число.

д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

Приклад. Добути квадратний корінь із числа .

Р о з в ’ я з о к. Нехай  

Тоді , де  і  – дійсні числа. Звідси

Розв’язавши цю систему рівнянь , одержимо

Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами.

Приклади.  

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰.

5⁰.

1.2. Тригонометрична форма комплексного числа

Сполучимо початок координат з точкою . Довжина  цього відрізка називається модулем комплексного числа, а кут  , що утворює цей відрізок з додатним напрямом осі  називається аргументом комплексного числа (рис.8.1). Очевидно, що аргумент дійсного числа дорівнює , а уявного -

                                      .

Проекції відрізка   на осі  і  відповідно дорівнюють  і . Тому

      (8.1)

Враховуючи формули (8.1), одержимо:

Отже,

                       .                                    (8.2)

Запис комплексного числа у вигляді  називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним.

Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:

Маємо:

Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.

а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.

б).Множення.

                              (8.3)

1. Вища фізика. Конспект лекцій

   Реферат >> Физика
   ... осі , що перпендикулярна до площини рисунка (рис.1). Виберемо на даному тілі точку . ... а тому період обертання визначимо таким чином: .   Число оборотів за одиницю часу назива ... зуємо формулу роботи . Робота - алгебраїчна величина. Робота може бути додатною  ...

2. Аналіз та синтез лінійних САУ

   Конспект >> Промышленность, производство
   ... ідає перемноження зображення X(p) на комплексну змінну p, ... ідає комплексне число W(ji), яке на комплексній площині можна ... W(j) = А()еj() в алгебраїчній W(j) = P() + jQ() у тригонометричній W(j) = A()cos() + ... – Логарифмічна характеристика коливальної ...

3. Загальна фізика

   Конспект >> Физика
   ... дників зображені на рис ... мо: а розкриваючи тригонометричні функції від складного ... орти). У комплексній формі рі ... алгебраїчна сума спадів напруг на ділянках контура рівна алгебра ... одній площині з падаючим ... вна 0. Оскільки квантові числа елементарних часток Q, B, L, ...

4. Множини і відношення

   Доклад >> Астрономия
   ... R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в ... площини. Координатне зображення точок площини ... ється за допомогою тригонометричної функції tg: ... ідність число 1, другому - число 2, третьому - число 3 і ... M - це множина точок на площині і aRb, a,bM, якщо ...

Хочу больше похожих работ...