Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Курсовая работа
Карпова Ю.А. Методы нахождения условного и безусловного экстремума: ТПЖА 220201.052 ПЗ: Курс. работа / ВятГУ, каф. АТ; рук. В. И. Микрюкова.– Киров, 2...полностью>>
Математика->Шпаргалка
4) имитационные модели: с помощью машин воспроизводится система. целесообразно применять, когда: 1) не существует аналитич решения; 2) аналитические м...полностью>>
Математика->Реферат
Одним из существенных признаков, положенных в основу классификации методов эксплуатации авиационной техники является тип используемой информации. Инфо...полностью>>
Математика->Реферат
Каждый, кто хоть раз в жизни наблюдал за муравьями, обязательно должен был заметить: вся деятельность этих насекомых имеет ярко выраженную групповую о...полностью>>

Главная > Реферат >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

2. Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.

Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.

где

Матрица, полученная заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной, к данной.

3. Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.


Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

Свойства:

  1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

  2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

  3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.

  4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.

  5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

  6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

  7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.

  8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

4. Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения.

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-либо строки.

5. Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

6. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

  1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.

  2. Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля.

  3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.

7. Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем.

Метод Гаусса.

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

8. Решение произвольных систем. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а остальные называются свободными и переносятся в правую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы.

9. Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.

10. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства.

Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:

V; x, y, z, … V

Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.

Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются , , . Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.

Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.

Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.

11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

n – мерное пространство.

Vn – базис, состоящий из n векторов.

В пространстве есть базисы

Введем матрицу перехода от к .

12. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами.

Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом пространстве введем еще одну операцию. Она будет удовлетворять следующим аксиомам.

Указанная операция называется скалярным произведением векторов. N – мерное линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, называется Евклидовым пространством.

Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Королева Марго

    Рассказ >> Литература и русский язык
    ... , побеседовав с ней целый час по-итальянски, по-испански, по-гречески и по-латыни, в восторге сказал ... темы, и все пойдет как по маслу! - Будь по-твоему! - Решено! Теперь войдем ... он сможет узнать меня по волосам, по рукам, по украшениям... - Ах, милая королева ...
  2. Оцеола, вождь семинолов (2)

    Рассказ >> Литература и русский язык
    ... достаточно места. С этой вышки передо мной открывалась вся ... покатился по лбу. Неудивительно, что я сидел на своей вышке, дрожа ... говорил я сам себе, яростно вонзая шпоры в бока коня. -- Да, ... не стал слушать, я вонзил шпоры в бока измученной лошади и галопом ...
  3. Толстой Севастополь в мае

    Рассказ >> Литература и русский язык
    ... у него были шпоры), или офицер, ... картину... ........................................................................... ............................... 9 По дороге к бастиону Калугин встретил ... с своими ординарцами шел на вышку.   Ротмистр Праскухин!   сказал ...
  4. Юнкера (2)

    Рассказ >> Литература и русский язык
    ... варварств. Она будет торчать на вышке, кутая в широкое обезьянье боа свой ... гибкий адъютант, быстро скользя по паркету и нежно позванивая шпорами. – Полонез! Дамы и господа ... побежала красная краска по щекам, по шее, по спине и даже по груди прекрасной девушки ...
  5. Цветы зла

    Рассказ >> Литература и русский язык
    ... утонул в крови. ---------- * Дар по обету (лат.). LVIII. ПЕСНЬ ПОСЛЕ ... вскормлен был борьбой, Язвимый шпорами Надежды, бурный, властный, ... дивное всецело погружен - По воле вызывать весны волшебный сон ... въяве, Мигающей свечи на вышке чердака. III Чудесные ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0027081966400146