Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Коммуникации и связь->Реферат
Избирательные усилители предназначены для усиления сигналов в некоторой узкой полосе частот, т.е. избирательно. Их частотная характеристика должна обе...полностью>>
Коммуникации и связь->Реферат
Неуклонный рост сложности приборов обуславливает повышенный интерес к вопросам диагностирования их технического состояния. Одной из разновидностей мет...полностью>>
Коммуникации и связь->Реферат
В условиях ускорения темпов научно – технического прогресса, увеличения объёмов производства, усложнения межпроизводственных связей, расширения сфер в...полностью>>
Коммуникации и связь->Реферат
Понятие множественного доступа связано с организацией совместного использования ограниченного участка спектра многими пользователями. В стандартах сот...полностью>>

Главная > Реферат >Коммуникации и связь

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Особенности спектрального представления непериодических сигналов.

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t) (рис. a) . Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом T (рис. б). В этом случае V(t) и S(t) cвязаны между собой соотношением

(30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t) в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента :

, (31)

где (32)

.

С учетом (31) и (32) из (30) имеем :

(33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T , то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T есть функция S(t) :

(34)

Рассмотрим правую часть (34) при T. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. 0=2/T, а T . При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T станут сколь угодно близкими друг к другу (k+1-k=00), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить k на текущую частоту, , 0 - на , а сумму на интеграл. Таким образом, при T от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем :

(35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

(36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

(37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают : .

Комплексная функция может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S() называют АЧХ непериодического сигнала, а фазу () - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S() есть амплитуда колебания с частотой отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно и . В математике оно известно как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы и существуют, то где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания :

Э (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/)S2()=dЭ/d называют спектральной плотностью энергии колебания ( имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).

1.3.5. Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа.

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости :

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото - рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход - 0, e1 при всех t, а t0. В таком виде этот метод не является общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте : вместо частоты вводится параметр p=+j, при этом параметр , как увидим позднее, является параметром множителя сходимости : e. Для удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при t, состоит из двух функций:

(33)

где S+(t) определена при t>0,

а S-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от к P сначало для функции S+(t). Для этого домножим S+(t) на e1, где 1 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S+(t) в пределах 0.

Тогда после подстановки p=1+j выражение (35) можно привести к виду

S+(t)

откуда

S+(t)= (40)

где (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S+(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S-(t) все точно также. Для всей функции

S(t)=S+(t)+S-(t)

LS(p)=LS+(p)+LS-(p) (40)

и S(t) (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса ( точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.


Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Спектральный анализ и синтез сигнала

    Реферат >> Коммуникации и связь
    ... Кроме привычного временного представления сигналов и функций при ... непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция. К случайным сигналам относят сигналы ... преобразования Фурье, а особенно свойства интегрирования и ...
  2. Спектральный анализ колебаний

    Реферат >> Физика
    ... для представления радиотехнических сигналов, исключительное ... спектральной плотностью амплитуд, а ее модуль – спектральной плотностью амплитуд. Аргумент называют фазовым спектром непериодического ... Найдем спектральную плотность: Особенностью комплексного ...
  3. Теория сигналов и систем. Конспект лекций и практических занятий

    Конспект >> Коммуникации и связь
    ... 1.3 Размерность сигналов. 1.4 Математическое описание сигналов. 1.5 Спектральное представление сигналов. 1.1. Общие ... непериодическим сигналам относят почти периодические и апериодические сигналы. ... сигналов. Формы математического отображения сигналов, особенно ...
  4. Основы теории электрических цепей

    Реферат >> Промышленность, производство
    ... Преобразование Фурье непериодических функций времени – спектральное представление непериодических функций. ... НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Особенности колебательных процессов в ... школа, 1982. Сиберт У. М. Цепи, сигналы, системы. Т.2- М.: Мир, 1988. Данилов ...
  5. Метрология, стандартизация и сертификация (10)

    Конспект >> Промышленность, производство
    ... сигналов……... 30 4.3. Условие неподвижного изображения непериодических сигналов ... 13 8. Измерение спектральных характеристик…………………………………………. 63 ... обусловлена индивидуальными особенностями оператора и ... наблюдения. Наглядное представление о поведении результатов ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0019040107727051