Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Реферат
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, т...полностью>>
Математика->Реферат
Производственная практика проходила на предприятии ООО «Стаффэнергосервис» - компании, специализирующейся на монтаже и обслуживании газо-поршневых маш...полностью>>
Математика->Контрольная работа
7 + 5 , + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47, 71 Определим выборочное среднее для молока: y = (1 *(1,49 +1,38 + 1, 9 + 1,1 + 0,99 + 0,9 ...полностью>>
Математика->Реферат
В последние годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержатель...полностью>>

Главная > Курсовая работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Учреждение образования «Брестский государственный университет
им. А.С. Пушкина»

Кафедра алгебры и геометрии

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Курсовая работа

студентки 3 курса

Руководитель

преподаватель кафедры алгебры и геометрии

Брест 2007

ВВЕДЕНИЕ

Многими математическими знаниями люди пользовались уже в глубокой древности – тысячи лет назад. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям храмов, дворцов и пирамид, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

Знания постепенно накапливались и систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур. Так как речь в основном шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» - земля, а «метрео» - измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие». Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название – «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»).

Древние люди знали, что немаловажное значение имеют такие фигуры как многоугольники. Например, древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

В данной работе мне предстоит изучить некоторые свойства многоугольников и их особенности при решении задач, а также научиться применять полученные знания на практике.

1.1.МНОГОУГОЛЬНИКИ. СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис.1а) ), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым (рис.1б) )

В

Рис.1.1

ершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят — 3 диаго­нали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно .

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

  1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

  2. он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;

  3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Свойства многоугольников:

1 Каждая диагональ выпуклого -уголь­ника, где >3, разлагает его на два выпуклых много­угольника.

2 Сумма всех углов выпуклого -угольника равна .

Д-во: Теорему докажем методом математической ин­дукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где <, и докажем ее для -угольника.

П

Рис.1.2

усть— данный многоугольник. Прове­дем диагональ этого многоугольника. По теоре­ме3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис.5). По предположению индукции . С другой сто­роны, . Складывая эти ра­венства и учитывая, что ( — внутренний луч угла ) и (— внутренний луч угла), получаем .При получаем: .

3 Около любого правильного многоуголь­ника можно описать окружность, и притом только одну.

Д

Рис.1.3

-во: Пусть правильный многоугольник, а и — биссектрисы углов , и (рис. 150). Так как , то , следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА2 = О = ... = ОАп. Треугольник О равнобедренный, поэтому О= О. По второму признаку равенства треугольников , следовательно, О = О. Аналогично

доказывается, что О = О и т. д. Таким обра­зом, точка О равноудалена от всех вершин много­угольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины много­угольника, например, , А2, . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника ... нельзя описать более чем одну ок­ружность. ч.т.д.

4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

5 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

6 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

7 Симметрия:

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична) , если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

7.1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

7.2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120 ° .

7.3 У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота .

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

8 Подобие:

При подобии и -угольник переходит в -угольник, полуплоскость – в полуплоскость, поэтому выпуклый n-уголъник переходит в выпуклый n-уголъник

Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников иудовлетворяют ра­венствам:

, (1)
где -- коэффициент подия

, (2)



Загрузить файл

Похожие страницы:

  1. Графический метод решения задачи линейной оптимизации в трехмерном случае

    Курсовая работа >> Информатика
    ... ; Проблема практического применения ЭВМ в учебном ... многоугольник. Используя свойство ... задачи, построить выпуклый многоугольник многогранник, определяющий множество допустимых решений задачи X. Решить основную задачу ... машины, постановка их на производство, ...
  2. Изучение основ комбинаторики и теории вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... блестящее будущее, широкое применение. В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так ... Мёбиуса, абстрактных свойств линейной зависимости, выявление их роли при решении комбинаторных задач способствовали обогащению ...
  3. Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

    Курсовая работа >> Математика
    ... площадь любого многоугольника. Нахождение площадей многоугольников используется в планиметрии и стереометрии при решении задач. В курсе ... по изучению их свойств, имитировать процессы и явления и т.д. Кроме того, применение компьютерных технологий ...
  4. Решение логических задач на уроках математики в 5-6-х классах

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... в применении знаний и определенную совокупность сформирован­ных свойств мышления, называемую мысли­тельными умениями, проявляющимися в процессе решения задач ...
  5. Решение задач по теории вероятности

    Реферат >> Математика
    ... будут больше 1. Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет ... ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу ... если М(Х) = а, D(X) = а2. Решение На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем ...

Хочу больше похожих работ...

Generated in 0.0016520023345947