Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Математика->Лекция
Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискрим...полностью>>
Математика->Курсовая работа
Развитие сталеплавильного производства в мире характеризуется вытеснением мартеновского способа и расширением кисло­родно-конвертерного и электростале...полностью>>
Математика->Контрольная работа
Характерной чертой современности является стремительный научно-технический прогресс, что требует от менеджеров и бизнесменов значительного повышения о...полностью>>
Математика->Закон
Был солнечный сентябрьский день. Закончились занятия в школе. Мы с одноклассниками шли домой, обсуждая последний урок математики. Переходя дорогу, мы ...полностью>>

Главная > Контрольная работа >Математика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Медико-биологический лицей г. Саратова.

Предмет: математика.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ.

Выполнили: Дёмин Дмитрий,

Грачёв Денис ученики 11 «б» класса МБЛ.

Руководитель: Винник Нина Дмитриевна

Учитель математики.

Саратов 2007 г.

Содержание

Введение.

Глава 1Определители.

  1. Определения.

  2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде.

  3. Свойства определителя.

  4. Доказательства свойств определителя.

  5. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными.

Глава 2Векторное произведение.

  1. Определения.

  2. Свойства векторного произведения.

  3. Доказательства свойств векторного произведение.

  4. Смешанное произведение.

  5. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

  6. Примеры решение задач (с использованием определителей).

Вывод.

Список литературы.

Введение

В алгебре существует широкий класс задач, решение которых является громоздким и трудным методами элементарной математики. Например, решение системы n линейных уравнений, с n неизвестными методом Жордана – Гаусса требует длительных вычислений и, как правило, часто ведёт к ошибке.

Теория определителей позволяет решать и исследовать системы с малыми затратами используя правило Крамера, рассматриваемое в этой работе.

(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Медико-биологического лицея Дёмин Дмитрий).

При вычислении площадей, объёмов в пространстве часто удобно пользоваться векторным и смешанным произведениями векторов, вычисляя определитель координат векторов, что представлено в работе.

(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Грачёв Денис).

Глава 1. Определители

        1. Определения

Опр. Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы (иногда их называют колонками). Строки и столбцы часто называют собирательным термином «ряды матрицы». Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами – aij; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент aij, а второй индекс j означает номер столбца матрицы, в котором стоит aij. Матрицы символически обозначают заключёнными в круглые или квадратные скобки, или двойные вертикальные черточки. (Кратко: (aij) или IIaijII).

Каждой квадратной матрице, элементами которой являются числа, ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.

Опр. Определитель (детерминант) n-го порядка – алгебраическая сумма n! слагаемых членов из элементов квадратной матрицы (таблицы), которое вычисляется по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение n элементов взятых по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Каждый член определителя берётся со знаком (-1)t, где t – число инверсий во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке.

2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде

Пусть матрица A= , тогда ее определитель будет содержать 2!=2 слагаемых:

a11a22 и + a21a12 , так как в перестановке нет инверсий, следовательно, (-1)0= -1, а в перестановке есть одна инверсия и (-1)1 = -1.

Значит, = a11a22 – a21a12

Минором или алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы или ее определителя, называется определитель порядка n-1, который получается из исходного вычеркиванием i – той строки и j – того столбца.

3. Свойства определителя

Определитель обладает рядом свойств:

  1. Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

  2. Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

  3. Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

  4. Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

  5. Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

  6. Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

  7. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

4. Доказательства свойств определителя

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

Доказательство:

Опр. Матрицы Aji называется транспонированной матрицей Aij


= det A = det AT

det A = det AT

Выберем любое слагаемое из суммы определителя.

a1i a2j … ank

ai1 aj2 … akn  сумме det AT

Следовательно определители равны.

Свойство №2: Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Доказательство:

Пусть дана матрица, один столбец которой равен 0.

=detA подсчитаем определитель данной матрицы.

Подсчитаем определитель данной матрицы, используя правило равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям.

=0*а22331223*0+а3213*0 = 0

=-(а1322*0+а1233*0+а2332*0)=0

Свойство доказано.

Свойство №3: Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

Доказательство: Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:

,после перестановки получим: .

Посчитаем определители обеих матриц. Получим:

det A=(-1)0*((a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11))

det B=(-1)2*((a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13))

(a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11) +(a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13)=0

Получили, что det A=-det B.

Свойство доказано.

Свойство №4: Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

Доказательство:

Возьмём матрицу, в которой элементы первого столбца равны aij+bj и посчитаем её определитель.

.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

.

То есть: .

Свойство доказано.

Свойство №5: Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

Доказательство:



Похожие страницы:

  1. Шпаргалка по Высшей математике (4)

    Шпаргалка >> Математика
    ... алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами). Геометрия ... измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, ... того же размера. 24. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА. Определи́тель (или ...
  2. Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

    Реферат >> Математика
    ... студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», « ... нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в ... найти коэффициенты . Определитель этой подсистемы является определителем Вандермонда , и, ...
  3. Многомерная геометрия (2)

    Курсовая работа >> Математика
    ... является их несомненное удобство в применении к ... где , следовательно, определитель обратного преобразования (4) находится ... геометрии и линейной алгебры. - 6-е изд., перераб. - М.: Наука, 1988. Умное А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра ...
  4. Специализированные языки разметки документов HTML

    Курсовая работа >> Информатика
    ... персональных компьютеров и их удешевление привело к ... Resource Locator)"универсальный определитель местонахождения ресурса". ... Тело документа HTML Применение многоязычного текста. ... Арифметика 1 - 4 Алгебра 5 - 11 Геометрия 7 - 11 Количество наименований ...
  5. Давид Гильберт (2)

    Реферат >> Промышленность, производство
    ... лекции по теории инвариантов, определителям и гидродинамике. Проблема ... и “чудовищной” трудностью их доказательств. В последующие годы ... комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою ... было свершиться. Однако применение им интегральных уравнений в ...

Хочу больше похожих работ...