Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

Информатика->Реферат
Компактная микроэлектронная “память” широко применяется в современной аппаратуре самого различного назначения. Но тем не менее разговор о классификаци...полностью>>
Информатика->Реферат
Интернет как глобальная информационная среда представляет собой уникальный источник лингвистической информации, пока еще, к сожалению, не вполне освое...полностью>>
Информатика->Реферат
История компьютера тесным образом связана с попытками человека облегчить, автоматизировать большие объёмы вычислений. Даже простые арифметические опер...полностью>>
Информатика->Реферат
В рыночном хозяйстве принято выделять четыре макросектора: потребительских благ, средств производства, труда, денег и ценных бумаг. Современное произв...полностью>>

Главная > Курсовая работа >Информатика

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Реферат

Курсовая работа включает в себя 5 заданий. В первом задании по заданным экспериментальным данным необходимо построить линейную модель (множественную регрессию) методом наименьших квадратов, а также взвешенным методом наименьших квадратов для неравноточных измерений входной величины. Суть метода заключается в решении матричного уравнения, результатом которого является вектор коэффициентов регрессии.

Вторая часть работы – численные процедуры оценивания параметров нелинейных регрессионных моделей. По-заданию требуется реализовать один из численных методов поиска МНК-оценок.

Третья часть работы включает в себя разработку аналитической модели химического реактора идеального смешения. Кроме разработки модели необходимо осуществить линеаризацию методами идентификации, а также построение кривых отклика линеаризованной и аналитической моделей.

Содержание

Реферат 1

Содержание 2

Задание 1. Идентификация объектов методом наименьших квадратов 3

Задание 2. Взаимосвязь различных форм моделей динамических систем 17

Задание 3. Построение модели с распределенными параметрами 24

Задание 4. Численные процедуры оценивания параметров нелинейных регрессионных моделей 32

Задание 5. Разработка аналитических моделей объектов автоматизации. Линеаризация моделей 37

Заключение 42

При выполнении данной курсовой работы были применены методы идентификации статических и динамических объектов, исследованы методы нелинейного оценивания и построена аналитическая модель объекта автоматизации. На мой взгляд, все примененные методы и принципы имеют очень большую роль в науке и технике, поскольку прежде чем построить какой-либо объект, нужно сначала исследовать его модель, чтобы дать заключение о его пригодности или непригодности к решению поставленной задачи. 42

Задание 1. Идентификация объектов методом наименьших квадратов

1.1 Постановка задачи

Математическая модель объекта имеет вид:

.(1.1)

Имеются статистические данные наблюдений:

Известна диагональная корреляционная матрица ошибок наблюдений

.

Требуется:

  1. Оценить вектор коэффициентов модели В методом наименьших квадратов.

  2. Оценить вектор коэффициентов модели взвешенным методом наименьших квадратов, считая точность измерения входных показателей обратно пропорциональной номеру показателя.

  3. Оценить вектор коэффициентов модели методом максимального правдоподобия.

  4. Построить доверительные интервалы для коэффициентов модели для доверительной вероятности 0,95.

  5. Проверить значимость полученной статистической модели объекта.

  6. Проанализировать полученные результаты.

Таблица 1.1

Вариант задания

Вариант

Матрица XT

Матрица YT

След матрицы D

5

1.2 Математическая постановка задачи

Пусть имеются транспонированные матрицы результатов наблюдений и след диагональной корреляционной матрицы ошибок D:

Поскольку результаты наблюдений суть случайные величины, получить «истинные» значения коэффициентов из модели

;(1.2)

нельзя. Вместо этого можно получить их оценки на основе исследований по таблице предварительно составленных наблюдений. Если речь идет о модели (1.2), то она принимает вид

,(1.3)

где ─ предсказанное значение отклика и служит оценкой истинного значения . Величина отклика служит оценкой «истинного» значения . В регрессионном анализе для получения оценок коэффициентов модели (1.2) используется МНК.

Из-за действия случайных возмущений предсказанное значение будет отличаться от результата измерения . Разности , , называют остатками.

Так как истинное значение вектора коэффициентов β и его оценка b различны,

, а .

Отсюда вектор остатков:

.

Оценки коэффициентов регрессии естественно искать так, чтобы обеспечить наименьшие возможные остатки, но остатки многочисленны, поэтому нужна некоторая суммарная характеристика, которая должна зависеть от различий между измеренными и предсказанными значениями выходных характеристик в каждом опыте. Такую функцию обычно называют функцией потерь, или функцией риска. Для различных целей и условий исследования она может иметь разный вид.

Вот одна из наиболее часто используемых функций потерь:

.(1.4)

В ней остатки возведены в квадрат, чтобы компенсировать различия в их знаках.

Запишем сумму (1.4) в векторной форме. Пусть

обозначает N-мерный вектор столбец измеренных значений отклика, а

N-мерный вектор соответствующих им предсказанных значений, наконец,

вектор-столбец остатков. Как известно, скалярное произведение вектора на самого себя равно сумме квадратов его элементов, поэтому выражении (1.4) можно переписать в виде

.(1.5)

Метод, позволяющий оценивать регрессионные коэффициенты, выбирают так, чтобы минимизировать величину Q. Его называют обычно методом наименьших квадратов.

Пусть на основе данных таблицы исследования нужно найти такие оценки коэффициентов регрессии, которые минимизируют сумму Q, определенную в (1.4), минимум получим, приравняв производные по неизвестным оценкам к нулю. Но сначала подставим (1.2) в (1.4):

.(1.6)

После дифференцирования этого выражения по искомым оценкам и приравнивания нулю первых производных получаем систему уравнений:

(1.7)

.

Константы -2, входящие во все уравнения, не играют роли, ибо для равенства нулю произведения достаточно, чтобы равными нулю оказались соответствующие суммы. Поэтому полученная система сводится к виду:

(1.8)

Полученная система линейна относительно искомых оценок , а число уравнений в ней равно числу неизвестных коэффициентов k модели. Она называется системой нормальных уравнений.

Запись системы нормальных уравнений можно упростить, если положить

.(1.9)

Очевидно , поскольку порядок перемножения функций под знаком суммы не важен. В новых обозначениях система нормальных уравнений примет вид:

(1.10)

В дальнейшем мы воспользуемся матричной записью. Обозначим ─ матрицу величин буквой G, ─ вектор оценок искомых коэффициентов буквой b, ─ вектор правой части системы буквой Z. Тогда

Важно заметить, что G ─ симметричная матрица, так как .

Вот матричная запись системы нормальных уравнений:

.(1.11)

Матрица G называется информационной матрицей. Ее можно представить через введенную в матрицу (1.2.2) матрицу регрессоров . Это утверждение проверяется непосредственно транспонированием F и перемножением . Точно так же проверяется, что . Значит, систему нормальных уравнений можно переписать так:

.(1.12)

Если ранг F равен k, то ранг то же равенk, так как из теории матриц известно, что произведение матриц есть положительно определенная матрица.

При этих условиях можно получить матрицу, обратную к информационной. Обозначим ее . Поскольку , умножение выражения (1.12) слева на матрицу приводит к решению системы нормальных уравнений:

.(1.13)



Похожие страницы:

  1. Математические методы экономики

    Реферат >> Экономико-математическое моделирование
    ... . Перейдем теперь к построе­нию математической модели. Для этого введем ... без дополнительных преобразований индексов (идентификация, упорядочение и т.д.). Поэтому ... экономической деятельности. Место методов математического моделирования в общей схеме ...
  2. Модели, методы и программное обеспечение для управления взаимодействием с ...

    Диссертация >> Информатика, программирование
    ... объясняют необходимость построения новых средств математического и программного обеспечения ... методов моделирования диалога между агентами системы с целью построения автоматных моделей ... включает следующие задачи: идентификация ситуации взаимодействия агентов; ...
  3. Процесс создания математической модели объекта

    Курсовая работа >> Экономико-математическое моделирование
    ... уравнения по следующей схеме: 309808 математическая модель метод площадь и т. д. При ... исследования, график переходной функции построенный в пакете VisSim30 аналогичен ... управления», Магомедов М.Я. Курс лекций «Идентификация и диагностика систем», Омаров О.М.-С. ...
  4. Построение геологической модели и прогнозного разреза

    Статья >> География
    ... пластов построенной моделью следует произвести построение модели по ... бурится наклонная скважина, математическое описание геонавигационных задач ... должна быть установлена идентификация горизонтов и ... . Оказались ограниченными методы оптимизации процесса бурения ...
  5. Математические методы в решении экономических задач

    Курсовая работа >> Экономико-математическое моделирование
    ... А₁ А₂ 1-й а₁₁ а₁₂ b₁ 2-й а₂₁ а₂₂ b₂ 3-й а₃₁ а₃₂ b₃ прибыль с₁ с₂ Решение задачи геометрическим методом Трудность построения математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели ...

Хочу больше похожих работ...