Обоснование параметров потенциально эффективного предприятия предполагает формирование такого его сбалансированного ресурсного потенциала, который обе...полностью>>
Геометрия - одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования....полностью>>
Мета: забезпечити творче застосування знань, умінь, навичок учнів у нестандартних умовах; розвивати логічне мислення, формувати самостійність, творчу ...полностью>>
Після виконання завдання обмінюються зошитом з сусідою по парті і звіряють правильність відповідей із записами на дошці (заздалегіть приготованими вчи...полностью>>
Основными числовыми характеристиками
Платоновых тел
является число сторон грани m,
число граней n,
сходящихся в каждой вершине, число
граней Г, число
вершин В, число
ребер Р и число
плоских углов У
на поверхности многогранника (табл. 1).
Многогран-ник
Число сторон грани, m
Число граней, сходящихся в
вершине, n
Число граней
Г
Число вершин
В
Число ребер
Р
Число плоских
углов на поверхности
У
Тетраэдр
3
3
4
4
6
12
Гексаэдр (куб)
4
3
6
8
12
24
Октаэдр
3
4
8
6
12
24
Икосаэдр
3
5
20
12
30
60
Додекаэдр
5
3
12
20
30
60
Таблица 1. Числовые характеристики
Платоновых тел.
Рассматривая табл. 1, зададимся
вопросом: «нет ли закономерности в
возрастании чисел в каждом столбцах
граней, вершин и ребер?» По-видимому,
нет. Вот в столбце «грани» все сначала
пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом
намеченная закономерность «провалилась»
(8 + 2
).
В столбце «вершины» нет даже стабильного
возрастания. Число вершин то возрастает
(от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до
6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности
тоже не видно.
Мы сравнивали числа внутри
одного столбца. Но можно рассмотреть
сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в
столбцах «грани» и «вершины» (Г + В).
Сравним новую таблицу своих подсчетов
(см. табл. 2).
Таблица 2
Правильный
многогранник
Число
Граней и
вершин (Г + В)
Ребер (Р)
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
4
+ 4 = 8
6
+ 8 = 14
8
+ 6 = 14
12
+ 20 = 32
20 + 12 = 32
6
12
12
30
30
Вот теперь закономерность видна.
Сформулируем ее так: «Сумма числа
граней и вершин равна числу ребер,
увеличенному на 2»: Г
+ В = Р + 2.
Итак, получена формула, которая
была подмечена уже Декартом в 1640 году,
а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя
которого с тех пор она и носит. Формула
Эйлера верна для любых выпуклых
многогранников.
Итак, получена формула, которая
была подмечена уже Декартом в 1640 году,
а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя
которого с тех пор она и носит. Формула
Эйлера верна для любых выпуклых
многогранников.
Элементы
симметрии:
Тетраэдр
не имеет центра симметрии, но имеет 3
оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Радиус
описанной сферы:
,
Радиус
вписанной сферы:
,
Площадь
поверхности:
,
Объем
тетраэдра:
.
Куб
имеет центр симметрии - центр куба, 9
осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Радиус
описанной сферы:
,
Радиус
вписанной сферы:
,
Площадь
поверхности куба:
S=a²,
Объем
куба:
V=a³.
Октаэдр
имеет центр симметрии - центр октаэдра,
9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Радиус
описанной сферы:
,
Радиус
вписанной сферы:
,
Площадь
поверхности:
,
Объем
октаэдра:
.
Икосаэдр
имеет центр симметрии - центр икосаэдра,
15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Радиус
описанной сферы:
,
Радиус
вписанной сферы:
,
Площадь
поверхности:
,
Объем
икосаэдра:
.
Додекаэдр
имеет центр симметрии - центр додекаэдра,
15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Радиус
описанной сферы:
,
Радиус
вписанной сферы:
,
Площадь
поверхности:
,
Объем
додекаэдра:
.
5.
Теория Кеплера.
В
Европе в XYI
– XYII
вв. жил и творил замечательный немецкий
астроном, математик и великий фантазер
Иоганн Кеплер (1571-1630).
Кеплер действительно выступал
в науке как астроном, математик и
фантазер. Если бы в нем не было хотя бы
одного из названных качеств, то он не
смог бы достичь таких высот в науке.
На основе обобщения данных,
полученных в результате наблюдений, он
установил три закона движения планет
относительно Солнца.
Первый
закон: каждая планета
движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
Второй
закон: каждая планета
движется в плоскости, проходящей через
центр Солнца, причем площадь сектора
орбиты, описанная радиус-вектором,
изменяется пропорционально времени.
Третий
закон: квадраты времени
обращения планеты вокруг Солнца
относятся, как кубы их средних расстояний
от Солнца.
Но это были только гипотезы, пока
их не объяснил и уточнил на основе закона
всемирного тяготения Исаак Ньютон
(1643-1727), создавший теорию движения
небесных тел, которая доказала свою
жизнеспособность тем, что с ее помощью
люди научились предсказывать многие
небесные явления.
Но представим себя на месте
Кеплера. Перед ним различные таблицы–столбики
цифр. Это результаты наблюдений – как
его собственных, так и великих
предшественников-астрономов. В этом
море вычислительной работы человек
хочет найти некоторую закономерность.
Что поддерживает его в таком грандиозном
замысле? Во-первых, вера в гармонию,
уверенность в том, что мироздание
устроено закономерно, а значит, законы
его устройства можно обнаружить. А
во-вторых, фантазия в сочетании с
терпением и честностью. В самом деле,
ну надо же от чего-то оттолкнуться!
Искомые законы надо сначала придумать
в собственной голове, а потом проверять
их наблюдениями.
Сначала
Кеплера соблазнила мысль о том, что
существует всего, пять правильных
многогранников и всего шесть (как
казалось тогда) планет Солнечной системы:
Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер,
Сатурн. Показалось, что гармония мира
и любовь природы к повторениям сделали
правильные многогранники связующими
звеньями между шестью небесными телами.
Кеплер предположил, что сферы планет
связаны между собой вписанными в них
Платоновыми телами. Так как для каждого
правильного многогранника центры
вписанной и описанной сфер совпадают,
то вся модель будет иметь единый центр,
в котором располагается Солнце.
Кеплер
выполнил огромную вычислительную
работу, чтобы подтвердить свои
предположения. В 1596 году он выпустил
книгу, в которой они были изложены.
Согласно этим предположениям, в сферу
орбиты Сатурна можно вписать куб, в
который вписывается сфера орбиты
Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается
тетраэдр, описанный около сферы орбиты
Марса. В сферу орбиты Марса вписывается
додекаэдр, в который вписывается сфера
орбиты Земли. А она описана около
икосаэдра, в который вписана сфера
орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана
около октаэдра, в который вписывается
сфера Меркурия. Такая модель Солнечной
системы получила название «Космического
кубка» Кеплера.
6.
Задача о проверке космической теории
Платоновых тел.
Можно проверить самим космическую
теорию Платоновых тел. Рассмотрим
задачу:
«Средние
радиусы орбиты Сатурна и Юпитера равны
соответственно Rс=
1, 427·109 км и
Rю
= 0,788 · 109 км. Найдите отношение
радиусов орбит указанных планет и
сравните найденное отношение с отношением
радиусов описанной около куба и вписанной
в него сфер».
Решение.
Согласно
гипотезе Кеплера эти отношения должны
быть равны. Итак, из наблюдений имеем:
.
Согласно
гипотезе в сферу орбиты Сатурна вписан
куб, пусть его ребро равно а. Тогда радиус
вписанной окружности равен половине
диагонали вписанного куба, т.е.
но
и тогда
.
В этот куб вписана сфера (орбита Юпитера).
Обозначим ее радиус через r.
Он равен половине ребра куба, т.е.
.
Тогда
.
Как
видим, расхождение между теоретическим
отношением R
: r
и наблюдаемым Rс
: Rю
не так уж и велико, менее 0,1. А для
космических масштабов оно вроде бы и
допустимо. Эти «почти совпадения» и
заставляли Кеплера долго держаться за
теорию платоновых тел, поскольку легко
было заподозрить ошибку в наблюдениях.
Год
за годом он уточнял свои наблюдения,
перепроверял данные коллег, но, наконец,
нашел в себе силы отказаться от заманчивой
гипотезы. Однако ее следы просматриваются
в третьем законе Кеплера, где говорится
о кубах средних расстояний от Солнца.
Каким образом они могли появиться
в сознании человека, если бы он не
рассуждал об объеме пространственных
тел? Ведь именно объем, как мы знаем,
выражается кубами линейных размеров
тел. Но это тоже гипотеза, гипотеза о
том, как были найдены законы Кеплера. У
нас нет возможности ее проверить, но мы
твердо знаем одно: без гипотез, иногда
самых неожиданных, казалось бы, бредовых,
не может существовать наука.
... теории правильныхмногогранников 5-10 § 1. Определение многогранника и его элементов 5-6 § 2. Пять правильныхмногогранников 7-8 § 3. Теорема Эйлера 9 Глава 2. Исследования правильныхмногогранников ...
... до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильныммногогранникам связан с красотой и совершенством формы ... Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. Правильныймногогранник,составленный из 12 равносторонних ...
... остальные правильныемногогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильныхмногогранников удивителен - ведь правильных многоугольников ...
... рассматривались тогдашней наукой. В значительной мере правильныемногогранники были изучены древними греками. Некоторые ... пяти правильныммногогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять. Правильныемногогранники характерны ...